اگر $ f'{(2-x)}= f{(x)}$ و $ f' {(1)}=2 $ حاصل $ f^{2}{(x)}+ f^{2}{(2-x)}$ را بیابید

Question

تابع f در R مشتق پذیر است و برای هر x رابطه $ f'{(2-x)}= f{(x)}$ برقرار است . اگر $ f' {(1)}=2 $ باشد حاصل $ f^{2}{(x)}+ f^{2}{(2-x)}$ را بیابید.

Comments

بنویسید $f(x)$
به صورت اندیس $f_{(x)}$ درست نیست!

---

چشم از دفعه بعد حتما

Answer 1

قرار دهید $g(x)=f^2(x)+f^2(2-x)$. حال داریم:

$$ (1) g'(x)=2f(x)f'(x)-2f(2-x)f'(2-x)$$

با توجه به فرض سوال داریم: $$f'(2-x)=f(x) \Rightarrow if:x \rightarrow (2-x) \Longrightarrow f(2-x)=f'(x)$$ بنابرین: $$f(2-x)f'(2-x)=f(x)f'(x)$$ از این رابطه و رابطه ی $(1)$ نتیجه میشود همواره $g'(x)=0$. پس $g(x)$ همواره مقدار ثابتی است. بنابراین: $$ g(x)=g(1)=f^2(1)+f^2(1)=2f^2(1)=2f'^2(1)=8$$

Comments

جواب آخر 8 می شود

---

@fardinffa
بله. تصحیح شد.