Question

همه زوج های مرتب صحیح مثبت $x,y$ را طوری بیابید که:

$$2^{x} = 3^{y} +5$$ المپیاد ریاضی بلغارستان سال 1966

Answer 1

اول فرض می کنیم که $x \geq 6$ بنابر این:

$\Rightarrow 2^x=2^62^{x-6} \Rightarrow 2^6=64|2^x=3^y+5 \Rightarrow 3^y \equiv -5(mod 64)$

حالا به راحتی می توان نشان داد که $11$ اولین عدد طبیعی است که $3^{11} \equiv -5(mod 64)$. حالا بنا به قضیۀ فی اویلر داریم:

$\phi (64)= \phi (2^6)=2^6(1- \frac{1}{2} )=2^5=32,(3,64)=1 \Rightarrow 3^{32} \equiv 1(mod64)$

بنابر این اگر $s$ کوچکترین عددی باشد که $3^{s} \equiv 1(mod64)$ باید $32|s$ و با یک بررسی کوتاه متوجه می شویم $r=16$.

حالا چون $y \geq 11$ فرض کنید که $3^{y-11} \equiv a(mod64)$ بنابر این:

$\Rightarrow 3^y=3^{11}3^{y-11} \equiv (-5)amod(64) \Rightarrow 5a \equiv 5(mod64) \Rightarrow a \equiv 1(mod64) ($چرا؟$)$

$\Rightarrow 3^{y-1} \equiv 1(mod 64) \Rightarrow 16|(y-1)($چرا؟$) \Rightarrow y=16k+11,k \in W$

$2^x=3^y+5=3^{16k+11}+5=(3^{16})^k+5 \equiv 7+2(mod17)=12mod(17)(?)$

از طرفی دیگر:

$3|(3^y+3)=2^x-2 \Rightarrow 2^x-2 \equiv 0(mod3) \Rightarrow(-1)^x+1 \equiv 0(m0d3) \Rightarrow$ فرد است$x$

حالا توجه کنید که برای توانهای فرد داریم:

$2^x \equiv 2 \vee -2 \vee 8 \vee -8(=2 \vee 17 \vee 8 \vee 9)(mod 15)$

این نشان می دهد که معادله برای $x \geq 6,$ جواب ندارد.حالا جوابها را برای $1 \leq x \leq 5$ بررسی می کنیم:

$2^1-5=-3 \neq 3^y,2^2-5=4-5=-1 \neq 3^y,2^3-5=8-5=3=3^1$

$,2^4-5=16-5 \neq 3^y,2^5-5=32-5=27=3^3$

پس دو جواب $(3,1)$ و $(5,3)$ داریم.

$\Box$