Question

چند سه‌تایی $(a,b,c)$ از اعداد طبیعی وجود دارد که کوچک‌ترین مضرب مشترک $a,b,c$ برابر $7000$ باشد؟

1. $1008$
2. $2187$
3. $5103$
4. $5488$
5. $9583$

Answer 1

ابتدا مسئله را ساده می کنیم یعنی عامل 7 که به 7طریق می تواند در سه عدد ظاهر شود در نظر نمی گیریم بنابراین ک.م.م برای 1000 داریم:

$$a=2^{x_1}.5^{y_1},b=2^{x_2}.5^{y_2}, c=2^{x_3}.5^{y_3},0 \leq x_i,y_i \leq 3$$

حال از اصل شمول و عدم شمول استفاده می کنیم. $$n= 4^6-2\times 3^3 \times 4^3+3^6$$ کافی است این n در 7 ضرب کنیم یعنی به 9583می رسیم.

Answer 2

ایده ای برای حل:

با توجه به اینکه $7000=2^3.5^3.7^1$ باید داشته باشیم:

$$a=2^{x_1}.5^{y_1}.7^{z_1},b=2^{x_2}.5^{y_2}.7^{z_2},c=2^{x_3}.5^{y_3}.7^{z_3},0 \leq x_i,y_i \leq 3,0 \leq z_i \leq 1$$

$$,Max_{1 \leq i \leq 3}x_i=Max_{1 \leq i \leq 3}y_i=3,Max_{1 \leq i \leq 3}z_i=1$$

تعداد جوابها برای سطر اول مساوی $4.4.2.4.4.2.4.4.2$ است.البته همه این جوابها قابل قبول نیستند.اگر معادله سطر دوم را هم اعمال کنیم یعنی حداقل باید یک توان سه برای دو و یک توان سه برای پنج و یک توان یک برای هفت داشته باشیم که این تعداد برابر است با:

$$\binom{3}{1} \binom{3}{1} \binom{3}{1}.4.2.4.2.4.4=2^2.3^3.4^4$$

$\Box$

Comments

راه حل جالبی نوشتید اما بین جواب ها  تکرار هم وجود دارد برای همین تعداد آنها از جواب گزینه ها بیشتر است.

---

مساله سه تایی مرتب مرتب

$(a,b,c)$

 را خواسته است!در ضمن ممکنه گزینه ها جواب نباشد.

---

درسته سه تایی مرتب مد نظر است روشم تعداد سه تایی مرتب می دهد . خوشبختانه جواب در بین گزینه می باشد.

---

من نگفتم حل.
گفتم ایده ای برای حل.شما جوابهای تکراراری را حذف فرمایید.