در یک فضای متریک اگر دو مجموعهٔ $A$ و $B$ در رابطهٔ $\partial B\subseteq A\subseteq B$ صدق کنند، آنگاه داریم $\partial B\subseteq \partial A$.

Question

فرض کنید $(M,d)$ یک فضای متریک و $A$ و $B$ دو زیرمجموعه از $M$ باشند و داشته باشیم

$$(\partial B) \subseteq A \subseteq B$$

که منظور از نماد $\partial B$، مرز مجموعهٔ $B$ است. ثابت کنید که

$$(\partial B) \subseteq (\partial A)$$

Answer 1

اگر $x\in \partial B$ و $r>0$ آنگاه $$\lbrace y\in M: d(y,x)<r\rbrace \cap A\supseteq \lbrace x\rbrace $$ بنابراین $\lbrace y\in M: d(y,x)<r\rbrace \cap A\ne \phi $.

از طرفی چون $x\in \partial B$، داریم $$.\lbrace y\in M:d(y,x)<r\rbrace \cap B^c\ne \phi $$ بنابراین $\lbrace y\in M:d(y,x)<r\rbrace \cap A^c\ne \phi $.

پس...

Comments

@mdgi
از چه قضیه ای در اثبات استفاده کردید؟

---

از قضیه ای استفاده نکرده ا
م. از تعریف مرز   راه حل را نوشتم.