یک نقطه از E تنها گفته می‌شد اگر یک همسایگی از آن یافت شود که هیچ عضو دیگری از E را در برنداشته‌باشد. یک نقطهٔ حدی E نمی‌تواند نقطهٔ تنهایش باشد چون یک نقطهٔ حدی هر همسایگی دلخواهش دست‌کم یک عضو دیگر از E را در بر دارد. پس هیج همسایگی‌ای از آن نمی‌توانید پیدا کنید که فقط آن را از E داشته‌باشد. توجه نیز داشته‌باشید که برخی نقطه‌های حدی اصلا ممکن است عضو E نباشند و از همان اول شرط نقطهٔ تنها بودن E را ندارند، به هر حال چه عضو E باشند چه نباشند بنا به مطلبی که گفتیم نقطهٔ تنهای E نمی‌شوند. تعریف بستار را به یاد آورید. \bar{E}=E\cup E'. نقطه‌هایی که عضو E' هستند نه تنها نقطهٔ حدی از E هستند بلکه نقطهٔ حدی از \bar{E} نیز هستند (دلیلش بدیهی است چون همسایگی‌هایشان عضو دیگری از E که زیرمجموعهٔ \bar{E} است را دارند). پس هیچ نقطه‌ای از E' نمی‌تواند نقطهٔ تنهای \bar{E} هم بشود. پس اگر \bar{E} نقطهٔ تنهایی داشته باشد آن نقطه باید عضو E باشد. به خاطر تعریف نقطهٔ تنها این نقطه باید همسایگی‌ای داشته‌باشد که \bar{E} را در نقطهٔ دیگری قطع نکند پس به طبع E که زیرمجموعهٔ آن است را نیز در نقطهٔ دیگری قطع نمی‌کند. تا اینجا ثابت شد که مجموعهٔ نقطه‌های حدی \bar{E} زیرمجموعهٔ نقطه‌های حدی E است. اکنون برعکس آن را ثابت کنیم. اگر نقطه‌ای تنهای E باشد پس عضو E و به طبع عضو \bar{E} نیز است. بنا به تعریف تنهایی از E پس همسایگی‌ای از آن مثلا به شعاع r هست که هیچ عضوی از E را غیر از خودش در بر ندارد. کافیست ثابت کنیم که این همسایگی هیچ عضوی از E' را نیز ندارد تا ثابت شود که هیچ عضو دیگری از \bar{E}=E\cup E' را ندارد.
بیایید فرض خلف کنیم. نقطهٔ مورد بحث را x بنامید. اگر به فرض خلف نقطهٔ حدی‌ای مانند y موجود باشد که عضو B(x,r) باشد آنگاه فاصلهٔ x و y از هم یعنی d(x,y) را s بنامید. قرار دهید r_0=\min(s,r-s) (توجه کنید که چون y داخل B(x,r) است پس s< r). اکنون از حدی بودن y برای E استفاده کنید، همسایگی به مرکز y و شعاع r_0 باید یک عضو از E غیر از y را در بر داشته‌باشد. یک چنین عضوی را x_0 بنامید. چون x_0\in B(y,r_0) پس d(x_0,y)< r_0. از طرفی بنا به ویژگی نامساوی مثلثی برای متریک‌ها داریم که
d(x,x_0)\leq d(x,y)+d(y,x_0)=s+d(y,x_0)\lneqq s+r_0
اکنون اگر s\geq r-s پس r_0=r-s و در نتیجه d(x,x_0)< s+r-s=r، و اگر s< r-s آنگاه s< \tfrac{1}{2}r پس d(x,x_0)=s+s=2s< r. در هر صورت x_0\in E\cap B(x,r) و x_0\neq x چون d(x,y)=s\nless r (پس x عضو B(y,r_0) نیست). که این تناقض با این داشت که B(x,r) اشتراکش با E فقط x را دارد.
پس اثبات اینکه مجموعهٔ نقطه‌های تنهای E و \bar{E} در هر متریکی و برای هر زیرمجموعه‌ای برابر است را کامل کردیم. اینک کافی است برای سه گزینهٔ دیگر مثال نقض بیاوریم.
قرار دهید E=[0,1)\cup\lbrace 2\rbrace در X=\mathbb{R} با متر اقلیدسی. مجموعهٔ نقطه‌های تنهای E و E^\circ و E' و \partial E به ترتیب برابر هستند با \lbrace 2\rbrace و \emptyset و \emptyset و \lbrace 0, 1, 2\rbrace.
