بله متر است . زیرا اگر $ d' (x,y)=0$ آنگاه $min \{1,d(x,y)\} =0$ پس $min \{1,d(x,y)\}=d(x,y)=0 $ . چون $d$ متر است پس $x=y$ . بر عکس اگر $x=y$ به وضوح $ d' (x,y)=0$ .
از آنجا که $d$ متر است پس $d(x,y)=d(y,x)$ بنابراین :
$$ d' (x,y)=min \{1,d(x,y)\} =min \{1,d(y,x)\} = d' (y,x)$$
حال باید نامساوی مثلثی را ثابت کنیم . یعنی به ازای هر $x,y,z \in X$ داریم :
$$d' (x,z) \leq d' (x,y)+ d' (y,z) \ \ \ \clubsuit $$
اگر $ d' (x,y)=1$ یا $ d' (y,z)=1$ آنگاه چون $ d' (x,z)=min \{1,d(z,z)\} \leq 1$ پس نامساوی $ \clubsuit $ برقرار است .
حال فرض کنید $ d' (x,y)=d(x,y)$ و $d' (y,z)=d(y,z)$ . چون $d$ متر است پس نامساوی مثلثی برای $d$ برقرار است و از آنجا که $ d' (x,z)=min \{1,d(x,z)\} \leq d(x,z)$ بنابراین :
$$ d' (x,z) \leq d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z) = d' (x,y)+ d' (y,z)$$
پس نامساوی $ \clubsuit $ برقرار است . در نتیجه $ d' $ متر است .
