اگر $d$ یک متر دلخواه روی $M$ باشد شما می خواهید ثابت کنید که $d'=\min\{1,d(x,y)\}$ یک متر است؟ یا اینکه می دانید $d'$ یک متر است و میخواید ثابت کنید با $d$ معادل است؟
چون معادل بودن یعنی اینکه $a,b> 0$ موجود باشند که $$ad(x,y)\leq d'(x,y)\leq bd(x,y)$$
ولی این دو امکان ندارد که معادل باشند. چون اگر همچین $a$ ی موجود باشد آنگاه $ad(x,y)\leq d'(x,y)\leq 1$ و لذا $d(x,y)\leq \frac 1a$ و در اینصورت هر زیر مجموعه ی $M$ کراندار است! که این برای هر فضای متریکی درست نیست. مثلا در $\mathbb R$ اینطور نیست که هر زیرمجموعه آن کراندار باشد!
