به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
125 بازدید
در دانشگاه توسط m722 (38 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

بفرض $X$ یک مجموعه باشد و $d$ و $g$ دو متر بر روی آن. بعلاوه فرض کنید که این دو متر بر روی $X$ هم‌ارزِ توپولوژیکی باشند. آیا گزارهٔ زیر در مورد آنها درست است؟

فضای $X$ با متر $d$ کامل است اگر و تنها اگر فضای $X$ با متر $g$ کامل باشد.

توضیح برخی از مفاهیم:

  1. هم‌ارزِ توپولوژیکی بودن دو متر یعنی توپولوژی‌های یکسانی ایجاد می‌کنند.
  2. کامل بودن یعنی هر دنبالهٔ کوشی همگراست.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط erfanm (13,064 امتیاز)
انتخاب شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

کافیست قرار دهیم $X=\{ \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \} $ و این مجموعه را همراه دو متر اقلیدسی و گسسته در نظر میگیریم.این دو متر توپولوژی های یکسانی را ایجاد میکنند(چرا؟) تحت متر گسسته فضا کامل است اما تحت متر معمولی کامل نیست(چرا)


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...