بفرض $X$ یک مجموعه و $d$ و $g$ دو مترِ هم ارز توپولوژیکی بر روی آن باشند. آیا کامل بودن فضای $(X,d)$ کامل بودن $(X,g)$ را نتیجه می دهد؟

Question

بفرض $X$ یک مجموعه باشد و $d$ و $g$ دو متر بر روی آن. بعلاوه فرض کنید که این دو متر بر روی $X$ هم‌ارزِ توپولوژیکی باشند. آیا گزارهٔ زیر در مورد آنها درست است؟

فضای $X$ با متر $d$ کامل است اگر و تنها اگر فضای $X$ با متر $g$ کامل باشد.

توضیح برخی از مفاهیم:

1. هم‌ارزِ توپولوژیکی بودن دو متر یعنی توپولوژی‌های یکسانی ایجاد می‌کنند.
2. کامل بودن یعنی هر دنبالهٔ کوشی همگراست.

Answer 1

کافیست قرار دهیم $X=\{ \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \} $ و این مجموعه را همراه دو متر اقلیدسی و گسسته در نظر میگیریم.این دو متر توپولوژی های یکسانی را ایجاد میکنند(چرا؟) تحت متر گسسته فضا کامل است اما تحت متر معمولی کامل نیست(چرا)