به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
1,226 بازدید
در دانشگاه توسط mohsenmoradi (12 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

می‌دانیم که هر فضای متریکی یک فضای توپولوژیک نیز است. اما چرا عکس این گزاره برقرار نیست؟

ویرایشگر: پرسش‌کننده به تلاش و فکر خود اشاره نکرده‌است.

توسط AmirHosein (18,510 امتیاز)
+2
- کجا این مطلب را تحت عنوانِ «قضیه» دیده‌اید؟
- تعریف متریک و تعریف توپولوژی را می‌دانید؟ خودتان چه اقدامی برای این پرسش‌تان تا کنون کرده‌اید؟
- نقطه‌های میان جمله‌تان چه هستند؟
توسط mohsenmoradi (12 امتیاز)
من.ننیتونم خودم اثبات کنم قضیه نگفته استادم گفته یه نکته است که اثباتش کنید
توسط AmirHosein (18,510 امتیاز)
+2
@mohsenmoradi در عنوان پرسش نوشته‌اید قضیه! روی گزینهٔ «ویرایش» کلیک کنید و عنوان و متن پرسش را ویرایش کنید. یعنی انقدر ارزش ندارد که یک بار متن‌تان را نگاه بیندازید و اشکالاتش را رفع کنید؟
اینکه می‌گویید نمی‌توانید خودتان اثباتش کنید به دلیل این است که شروع به کاری برایش نکرده‌اید. در دیدگاه پیشینم ابتدا اشاره کردم که آیا تعرفی توپولوژی و فضای متریک را فهمیده‌اید؟ اگر این مفهوم‌ها را نیاموخته‌اید که باید نخست بروید سراغ یادگیری تعریفشان و سپس بیایید سراغ این پرسش. اگر آموخته‌اید که باید بدانید که چند اصل هست که باید برقراری‌شان را چک کنید. پس به جای اینکه بگوئید نمی‌توانم شروع می‌کنید به چک کردن اصول. اگر در چک کردن اصلی به مشکل برخوردید آنگاه آن را می‌پرسید.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط AmirHosein (18,510 امتیاز)

به راحتی می‌توانید مثال نقض بسازید. برای نمونه یک مجموعهٔ متناهی بردارید و تلاش کنید که یک توپولوژی روی آن تعریف کنید که ویژگی‌ای از فضاهای متریک را نداشته باشد، در نتیجه هیچ متری نمی‌توان برایش برداشت که مجموعه‌های بازش با مجمعه‌های بازِ توپولوژی‌تان یکسان شود.

اما اینجا یک نمونه از فضای نامتناهی برایتان می‌زنیم و با یک توپولوژی‌ای که صرفا ساختگی برای یک نمونه نیست و در واقع یک توپولوژیِ پرکاربرد در هندسهٔ جبری است. مجموعهٔ عددهای حقیقی $\mathbb{R}$ را با توپولوژیِ زاریسکی بردارید. اگر توپولوژی زاریسکی را برای نخستین بار می‌شنوید، تعریفِ آن بسیار ساده است. این توپولوژی را با مجموعه‌های بسته‌اش تعریف می‌کنیم (و به طبع مجموعه‌های بازش، متمم‌های این مجموعه‌های بسته هستند). یک زیرمجموعه از $\mathbb{R}$ را یک زیرمجموعهٔ بسته در این توپولوژی در نظر می‌گیریم اگر بتوان مجموعه‌ای از چندجمله‌ای‌های یک‌متغیره پیدا کرد که مجموعه‌های ریشه‌های مشترکشان برابر با این مجموعه شود. روشن است (اگر نمی‌دانید چرا، بپرسید) که مجموعهٔ ریشه‌های مشترکِ یک مجموعه از چندجمله‌ای‌های یک‌متغیره با ضریب‌های حقیقی برابر با ریشه‌های چندجمله‌ای‌ای خواهد بود که ب.م.م-ِ آنها است. پس در اینجا تعریف ساده‌تر می‌شود، مجموعه‌های بسته برابر با مجموعه‌ریشه‌های چندجمله‌ای‌ها هستند. یعنی یک چندجمله‌ای بردارید، سپس مجموعهٔ ریشه‌های حقیقی‌اش را پیدا کنید، آنگاه این مجموعه یکی از مجموعه‌های بستهٔ این توپولوژی است. اما هنوز ساده‌تر هم می‌شود. یک چندجمله‌ای یک‌متغیره تعداد متناهی (دستِ بالا، به تعداد درجه‌اش) ریشه دارد. بعلاوه هر مجموعهٔ متناهی عدد حقیقی بردارید خیلی ساده می‌توانید یک چندجمله‌ای بسازید که دقیقا مجموعه‌ریشه‌هایش برابر با آن مجموعه شود، به این روش که اگر این مجموعه را $\lbrace r_1,r_2,\dots,r_n\rbrace$ فرض کنید آنگاه کافی است $f(x)=(x-r_1)(x-r_2)\cdots (x-r_n)$ را بردارید. پس توپولوژیِ زاریسکی روی $\mathbb{R}$ چیزی نیست به جز توپولوژی‌ای که بسته‌هایش مجموعه‌های متناهی هستند یا خود $\mathbb{R}$ (توجه کنید که $\mathbb{R}$ مجموعه ریشه‌های چندجمله‌ایِ ثابتِ صفر است). یا به سخنی دیگر، توپولوژی متممم متناهی، یعنی مجموعه‌های بازش برابر با مجموعهٔ تهی و مجموعه‌هایی که متمم‌شان مجموعه‌ای تهی می‌شود، است.

توجه کنید که توپولوژی زاریسکی بر روی $\mathbb{R}^n$ها نیز تعریف می‌شود و در آن حالت با چندجمله‌ای‌های چندمتغیره کار می‌کنید و دیگر با توپولوژیِ متمم‌متناهی برابر نمی‌شود چون برای نمونه دایره یک مجموعهٔ نامتناهی است و ریشه‌های یک چندجمله‌ای دو متغیره است، مثلا $x^2+y^2-1=0$.

به هر حال. اکنون دو نقطهٔ دلخواه از $\mathbb{R}$ مانندِ ۰ و ۱ را بردارید. فرض خلف کنیم که یک مترِ $d$ وجود دارد که همان بازهای زاریسکی را به ما بدهد. فاصلهٔ این دو نقطه $d(0,1)$ را $r$ در نظر بگیرید. دو گویِ $B(0,\frac{r}{2})$ و $B(1,\frac{r}{2})$ دو مجموعهٔ باز هستند که به ترتیب یکُمی ۰ و دومی ۱ را دارند. اما اشتراک این دو مجموعه تهی است. علت آن ویژگیِ نامساویِ سه‌گوشیِ (مثلثی) تعریفِ متر و همینطور تعریف دو گوی است. اگر نقطه‌ای عضو هر دو گوی باشد، باید فاصله‌اش از ۰ و ۱ کمتر از $\frac{r}{2}$ باشد و آنگاه بنا به نامساویِ یادشده فاصلهٔ ۰ و ۱ باید از $2\frac{r}{2}=r$ کمتر باشد که تناقض است، چون فاصلهٔ این دو دقیقا $r$ است و نه کمتر. اما آیا دو مجموعهٔ بازِ ناتهی در زاریسکیِ $\mathbb{R}$ هست که اشتراکشان تهی شود؟ خیر. فرض کنید $U_1$ یک باز دلخواه ناتهی باشد، پس متمم آن یک مجموعهٔ متناهی است. اگر یک باز دیگر بدون اشتراک با آن وجود داشته باشد، باید زیرمجموعهٔ این مجموعهٔ متناهی شود که در نتیجه فقط مجموعهٔ تهی قابل انتخاب می‌ماند (چون متمم یک متناهی در $\mathbb{R}$ متناهی نمی‌شود). پس به تناقض برخوردیم. چون اگر متریک می‌بود، می‌شد دو باز ناتهی با اشتراک ناتهی یافت مانند دو گویِ معرفی شده (توجه کنید که هر دو گوی ناتهی بودند چون یکی ۰ و دیگری ۱ را داشت).

در واقع دو گزارهٔ زیر را داریم:

گزارهٔ ۱: در هر فضای متریک با دست‌کم ۲ عضو، می‌توان دو مجموعهٔ بازِ ناتهی یافت که اشتراکشان ناتهی شود.

و

گزارهٔ ۲: در هر توپولوژی زاریسکی روی $k^n$ که $k$ یک میدان نامتناهی است، اشتراکِ هر دو مجموعهٔ بازِ ناتهی، همیشه ناتهی است.

اثبات هر دو گزاره مشابه کارِ بالایمان است. پس در واقع اینجا یک خانواده از مثال‌های نقض پیدا کردیم. همهٔ توپولوژی‌های زاریسکی گزارهٔ ۲، مترناپذیر هستند.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...