Question

برای هر مجموعه باز V از گروه توپولوژیک G

مجموعه {x∈G : $x^(2)$∈V} باز است ؟ چرا؟

با حذف واژه گروه این حکم برقرار خواهد بود ؟ صرفا" در فضای توپولوژیک باشد .

Comments

be soorate x^{(2)} benevisid. yani kole  tavaan raa bezaarid tooye aakoolaad

Answer 1

طبق تعریف، تابع $$ \left \lbrace \begin{array}{ll} \cdot : G\times G\to G & \ \\ (x,y)\to x.y& \ \end{array} \right. $$ پیوسته است و به راحتی میتوان نشان داد تابع \begin{equation} \left\lbrace \begin{array}{ll} I: G \to G\times G & \ \\ x\to(x,x) & \ \end{array} \right. \end{equation} نیز یک تابع پیوسته است. بنابراین ترکیب این دو تابع(یعنی $\cdot oI:G\to G$) نیز پیوسته است

Comments

@گوناز
منظورتان از حذف گروه چیست؟

---

سلام . تشکر . دارای ساختار گروهی نباشد و فقط یک فضای توپولوژیک باشد .

---

@گوناز
در آن صورت منظورتان از $x^2$ چیست؟

---

بله . درسته نمی تواند بدون ساختار گروهی با معنا باشد.

 اگرتوان nام هم قرار بدیم باز هم حکم برقراره ؟

---

بله برای توان $n$-ام هم استدلال شبیه‌اش را بکار می بریم و تابع  $x\to x^n$ پیوسته میشود