به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
127 بازدید
در دانشگاه توسط fahime (127 امتیاز)
ویرایش شده توسط fahime

فرض کنیم $A$ زیرمجموعه ای دلخواه از فضای متریک $(X,d)$باشد.ثابت کنید همواره $ \partial ( \partial ( \partial (A)))= \partial ( \partial (A))$. طبق قضیه ای میدانیم $ \partial ( \partial (A)) \subseteq \partial (A)$ . در سوال مطرح شده اگر $ \partial (A)$را برابر با $B$ بگیریم واضح است که $ \partial ( \partial (B)) \subseteq \partial(B)$ یعنی $ \partial ( \partial ( \partial (A))) \subseteq \partial ( \partial (A))$. ادامه اثبات ...؟

مرجع: فضاهای متریک با طعم توپولوژی-دکتر میرزاوزیری-فصل یک-۳۱.۶.۱
توسط fardina (16,008 امتیاز)
یک طرف واضح است که زیرمجموعه طرف دیگر است. درسته؟
توسط fahime (127 امتیاز)
بله درسته یک طرفش واضح است
توسط fardina (16,008 امتیاز)
کدام طرف واضح است و چرا؟ لطفا سوالتون رو ویرایش کنید و این مورد رو اضافه کنید. در مورد طرف دیگر می تونم کمک کنم.

2 پاسخ

+3 امتیاز
توسط fardina (16,008 امتیاز)
انتخاب شده توسط fahime
 
بهترین پاسخ

برای طرف دیگر فرض کنید $x\notin\partial\partial\partial A$ در اینصورت یا $x\notin \partial\partial A$ و یا $x\notin\overline{(\partial\partial A)^c}$.

اگر $x\notin \partial\partial A$ حکم ثابت است.

فرض کنید $x\in \partial \partial A$ در اینصورت $x\notin\overline{(\partial\partial A)^c}$.

پس $r>0$ ی وجود دارد که $B(x,r)\cap (\partial\partial A)^c=\emptyset$ که نتیجه می دهد

$B(x,r)\subset \partial\partial A\subset \partial A\tag{1}\label{1}$

از طرفی چون $x\in\partial\partial A=\partial A\cap \overline{(\partial A)^c}$ پس $x\in \overline{(\partial A)^c}$ پس برای $r>0$ پیدا شده داریم

$B(x,r)\cap(\partial A)^c\neq \emptyset\tag{2}\label{2}$

رابطه های $\eqref{1}$ و $\eqref{2}$ با هم در تناقض اند.

توسط fahime (127 امتیاز)
@fardina مگه مرز یک مجموعه اشتراک بستارش با بستار متممش نبود ؟
توسط fardina (16,008 امتیاز)
+2
بله. توجه کنید که مرز هر مجموعه ای خود مجحوعه ای بسته است لذا با بستارش برابر است.
توسط fahime (127 امتیاز)
مچکرم مشکلم کامل حل شد @fardina
+2 امتیاز
توسط kazomano (2,392 امتیاز)

ابتدا ثابت می کنیم که اگر $A$ در $ X $ باز یا بسته باشد آن گاه $( \partial (A))^\circ= \emptyset $.

فرض کنیم $A$ در $X$ بسته باشد آن گاه $\overline{A}=A $. از طرفی $ \partial (A)= \overline{A} \bigcap \overline{A^c} $ پس $ \partial (A)= A \bigcap \overline{A^c} \subseteq A$. فرض کنیم $x\in (\partial(A))^\circ $ آن گاه وجود دارد $B(x,r)$ به طوری که $B(x,r)\subseteq \partial(A)\subseteq A$ پس $B(x,r) \bigcap A^c=\emptyset$. بنابراین $x\notin \overline{A^c} $ و در نتیجه $x\notin \partial(A)$. پس $( \partial (A))^\circ= \emptyset $. اگر $A$ باز باشد استدلال مشابه است.

حالا چون $\partial(\partial(A))$ مجموعه ای بسته است پس

$$\partial(\partial(\partial(A)))=\partial(\partial(A))-(\partial(\partial(A)))^\circ$$

طبق اون چیزی که در بالا گفتیم

$$(\partial(\partial(A)))^\circ=\emptyset$$

بنابراین $$\partial(\partial(\partial(A)))=\partial(\partial(A))$$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...