در اثباتی که من تونستم بیارم از دو نکته زیر استفاده کردم که به احتمال زیاد دیده اید یا خودتان می توانید ثابت کنید:
نکته اول: برای هر زیرمجموعه $A$ از فضای متریک $X$ داریم $(A^\circ)^c=\overline{(A^c)}$
نکته دوم: اگر $U$ مجموعه ای باز باشد آنگاه $U\cap \overline A\subseteq \overline{U\cap A}$
به کمک این دو نکته مساله را حل می کنیم.
از آنجا که $A^\circ=B^\circ=\emptyset$ پس از نکته اول داریم $\overline {A^c}=X$ و $\overline{B^c}=X$ (یعنی $A^c$ و $B^c$ چگال اند).
برای اثبات $(A\cup B)^\circ=\emptyset$ کافی است نشان دهیم $((A\cup B)^\circ)^c=X$
اما داریم:
$$\begin{align}((A\cup B)^\circ)^c&=\overline{(A\cup B)^c}\\
&=\overline{A^c\cap B^c}\\
&\supseteq\overline{A^c}\cap B^c\\
&=X\cap B^c\\
&=B^c
\end{align}$$
که در آن، تساوی اول از نکته اول به دست آمده و رابطه شمولیت از نکته دوم نتیجه شده است(چون $B^c$ باز است). اما چون $(A\cup B)^\circ$ مجموعه ای باز است، پس $ ((A\cup B)^\circ)^c $ مجموعه ای بسته است که طبق رابطه اخیر شامل $B^c$ است. اگر از طرفین بستار بگیرید داریم
$$((A\cup B)^\circ)^c=\overline{((A\cup B)^\circ)^c}\supseteq \overline{B^c}=X$$
پس $((A\cup B)^\circ)^c=X$ لذا $(A\cup B)^\circ =\emptyset$.
توجه کنید که فقط شرط تهی بودن درون دومجموعه برای تهی شدن درون اجتماع دو مجموعه کافی نیست. به عنوان مثال $\mathbb Q$ و $\mathbb Q^c$ را در نظر بگیرید. پس شرط بسته بودن یکی از مجموعه ها مهم است.
