با فرض خلف اثبات میکنیم. فرض کنید رابطهٔ سمت چپ برقرار است ولی $A\cap C\neq\emptyset$. پس باید عضوی در این اشتراک وجود داشته باشد. آن را $a$ بنامید. داریم $a\in A$ و $a\in C$. نشان میدهیم که این با رابطهٔ سمت چپ در تناقض است. رابطهٔ سمت چپ چه میگوید؟ میگوید مجموعهٔ $A-(B-C)$ با مجموعهٔ $(A-B)-C$ یکسان است. پس هر عضوی در یکی، باید در دیگری هم باشد. عضوهای $B-C$ چیزهایی هستند که همزمان در دو شرط صدق کنند، یکی $x\in B$ و دیگری $x\not\in C$. ولی چون $a\in C$ بود پس در شرطهای عضویت برای $B-C$ صدق نمیکند (شرط دومش) و در نتیجه در آن نیست. عضوهای $A-(B-C)$ چیزهایی هستند که در $A$ باشند ولی در $B-C$ نباشند. خب $a$ در $A$ بود و نشان دادیم که در $B-C$ نیست، پس ثابت شد که $a\in A-(B-C)$. اما به روش مشابه میتوانید نشان دهید که $a\not\in (A-B)-C$. چرا؟ خیلی ساده، چون عضوهای $(A-B)-C$ باید در دو شرط صدق کنند یعنی عضو $A-B$ باشند ولی عضو $C$ نباشند. بدون نیاز به بررسیِ اینکه آیا $a$ به $A-B$ تعلق دارد یا خیر، چون در $C$ بود پس در شرط دوم صدق نمیکند و این عضو نبودنش را نشان میدهد. پس نشان دادیم که ناتهیبودنِ $A\cap C$ باعث میشود که بتوان عضو یا عضوهایی در $A-(B-C)$ بتوان یافت که در $(A-B)-C$ نباشند و این در تضاد با برابریِ این دو مجموعه است. پس فرض خلف باطل و از آنجا حکم اصلی ثابت میشود.
برای خوانندههای علاقهمندتر؛ ما در اینجا ثابت کردیم که تمامِ $A\cap C$ در واقع در داخلِ تفاضلِ
$$\Big(A-(B-C)\Big)-\Big((A-B)-C\Big)$$
است. دو مجموعه زمانی برابر هستند که تفاضلشان از هر دو سمت برابر با تهی شود. مجموعهٔ تهی نیز نمیتواند زیرمجموعهای ناتهی داشتهباشد.
