به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
170 بازدید
در دبیرستان توسط M.SH (92 امتیاز)
دوباره دسته بندی کردن توسط AmirHosein

من می‌دانم که $A \subseteq B$ یعنی هر $x$ که در $A$ است، در $B$ هم است. و می‌دانم که $A-B$ یعنی $x$هایی که در $A$ هستند ولی در $B$ نیستند. اما نمی‌فهمم چه شرطی باید بگذرایم تا $A-B=B-A$ برقرار بشود.

توسط good4us (5,380 امتیاز)
+5
@M.SH با جمله ای که خود شما بیان کرده اید ،$A-B$ و $B-A$ در حالت کلی مجزا هستند مگر وقتی که این دو مجموعه مساوی باشند که در اینصورت حاصلشان تهی و برابر خواهد شد.
توسط M.SH (92 امتیاز)
+1
خب . الان این جا چون کهAو B  مجزا هستند این دوتا با هم برابر میشه ؟
شرط میشه مجزا بودنشون ؟؟ درسته ؟
این که مجزا هستند یعنی ربطی به هم ندارند؟؟؟
توسط Math.Al (597 امتیاز)
+2
@M.SH خیر، دقیقاً بر عکس است. شرط می‌شود برابر بودنشان. یعنی تنها وقتی که دو مجموعهٔ $A$ و $B$ باهم برابر باشند، $A-B$ نیز با $B-A$ برابر خواهد شد.

4 پاسخ

+2 امتیاز
توسط Math.Al (597 امتیاز)
انتخاب شده توسط M.SH
 
بهترین پاسخ

به نام خدا

مجموعه‌های $A$ و $B$ تنها در صورتی که باهم برابر باشند، $A-B$ نیز با $B-A$ برابر خواهد شد. که یعنی تنها شرط برابری مجموعه‌های $A-B$ و $B-A$ این‌است که مجموعه‌های $A$ و $B$ باهم برابر باشد؛ زیرا تنها در صورتی که دو مجموعهٔ $A$ و $B$ باهم برابر باشند، $A-B$ برابر با $B-A$ خواهد شد‌. در غیر این‌صورت، چون $A-B$ و $B-A$ دو مجموعهٔ مجزا هستند، پس غیر ممکن است باهم برابر باشند!

توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
+3
@Math.Al متنی که نوشتید مانند تکرارکردن همان جملهٔ اول، چهار بار است. به جای تکرار کردن یک جمله می‌توانستید بنویسید که اگر برابر باشند فلان می‌شوند که برابر هستند و اگر نباشند فلان چیز رخ می‌دهد که نابرابری را می‌دهد.
+4 امتیاز
توسط amir7788 (1,135 امتیاز)
ویرایش شده توسط amir7788

با عضو گیری می توان جواب داد اما یه اثبات دیگر که مورد علاقه ام می باشه انجام می دهم

$$A-B=B-A \Rightarrow \quad A \bigcup (A-B) = A \bigcup (B-A) \Rightarrow A=A \bigcup B \;\;(1) $$

  • البته از تساوی آخر می توان نتیجه گرفت $ B \subseteq A $ است.

    $$A-B=B-A \Rightarrow \quad B\bigcup (A-B) =B \bigcup (B-A) \quad \Rightarrow B=B\bigcup A \;\;(2) $$

  • البته از تساوی آخر می توان نتیجه گرفت $A \subseteq B $ است.

از رابطه های 1 و 2 نتیجه می شود A=B. این نتیجه را از زیرمجموعه همدیگر بودن A و B هم می توان گرفت.

+2 امتیاز
توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)

توجه کنید که $A=(A-B)\cup(A\cap B)$ که اثبات آن برایتان باید روشن باشد، برای نمونه یک نمودار ون ساده بکشید. به طور مشابه داریم $B=(B-A)\cup(A\cap B)$. اکنون اگر داشته‌باشیم $A-B=B-A$، آنگاه چون اجتماع گرفتن دو طرف تساوی با یک مجموعهٔ یکسان (در اینجا $A\cap B$) تساوی را حفظ می‌کند، پس خواهیم‌داشت

$$(A-B)\cup(A\cap B)=(B-A)\cap(A\cap B)$$

که هم‌ارز است با

$$A=B$$

اینک برعکس، اگر داشته‌باشیم $A=B$، آنگاه چون تفاضل گرفتن دو طرف تساوی با یک مجموعهٔ یکسان (دوباره $A\cap B$) تساوی را حفظ می‌کند خواهیم داشت؛

$$A-(A\cap B)=B-(A\cap B)$$

اما توجه کنید که از قبل احتمالا دیده‌اید که $A-B=A-(A\cap B)$ و مشابه آن $B-A=B-(A\cap B)$. پس داریم

$$A-B=B-A$$

پس چیزی که در آخر نتیجه شد این است که گزارهٔ $A-B=B-A$ هم‌ارز با گزارهٔ $A=B$ است، چون هر یک دیگری را نتیجه می‌دهد.

+1 امتیاز
توسط Elyas1 (2,266 امتیاز)
نمایش از نو توسط Elyas1

به نام خدا.

تعریف زیر مجموعه را به یاد می آوریم:

$A \subseteq B \Longleftrightarrow \forall x; (x \in A \Longrightarrow x \in B)$

حال تساوی دو مجموعه را به یاد آورید:

$A=B \Longleftrightarrow [(A \subseteq B) \wedge (B \subseteq A)]$

حال می رویم سراغ مسئله شما.

می دانیم که $A-B=B-A$ است. پس می توان نوشت:

$ \forall x;(x \in A \wedge x \notin B \Longrightarrow x \notin A \wedge x \in B )$

$ \wedge $

$\forall x;(x \in B \wedge x \notin A \Longrightarrow x \notin B \wedge x \in A )\space (1)$

ارزش گزاره مرکب فوق باید درست باشد.

بیایید فرض کنیم که
$A \neq B$ باشد. ارزش گزاره مرکب $ \forall x;(x \in A \wedge x \notin B \Longrightarrow x \notin A \wedge x \in B )$

نادرست است. پس ارزش گزاره ی مرکب $(1)$ نادرست خواهد بود.

حال فرض کنید $A=B$ باشد.

توجه کنید که ارزش گزارهای مرکب $ x \in A \wedge x \notin B$

و $x \notin A \wedge x \in B$

نادرست می باشند. پس ارزش گزارهای مرکب $x \in A \wedge x \notin B \Longrightarrow x \notin A \wedge x \in B $

و

$x \in B \wedge x \notin A \Longrightarrow x \notin B \wedge x \in A $

به انتفای مقدم درست خواهند بود. پس ارزش گزاره $(1)$ درست خواهد بود.

توسط Elyas1 (2,266 امتیاز)
+2
@AmirHosein اگر نشان دهم در زمانی که $A,B$ برابر نیستند $A$ نمی تواند زیر مجموعه $B$ و $B$ نمی تواند زیر مجموعه $A$ باشد، پاسخم کامل می شود؟
توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
+2
@Elyas1 احتمالا منظورتان در جملهٔ دیدگاه‌تان «یا» بوده‌است نه «و». از نابرابر بودن دو مجموعه نمی‌توانید نتیجه بگیرید که زیرمجموعه‌بودن از هر دو طرف حتما برقرار نیست. برای نمونه $\lbrace 1,2\rbrace$ و $\lbrace 1\rbrace$ نابرابر هستند ولی یکی زیرمجموعهٔ دیگری است. چیزی که از نابرابری دو مجموعه حتما نتیجه می‌شود این است که حداقل یکی از آن دو زیرمجموعهٔ دیگری نیست.
توسط Elyas1 (2,266 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
+1
@AmirHosein در واقع منظورم بنده این است.
اگر $A \neq B$ باشد و  با توجه به اینکه $A-B = B-A$ است  آنگاه می توان نشان داد:
نمی تواند  $A\subseteq B$  باشد.
زیرا اگر باشد:
$A-B=B-A=A-(A \cap B)=A-A=  \oslash   $
پس باید$A=B$ باشد که تناقض با فرض اولیه می باشد.
همینطور می توان نشان داد که  $B$ زیر مجموعه$A$ نیست.
توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
+2
@Elyas1 خط محاسبات آخرتان از برابر بودن $A-B=B-A$ استفاده‌ای نمی‌کند. از فرض $A\subseteq B$ نتیجه می‌شود که $A-B=\emptyset$. یعنی از سمت چپ به راست عبارت دوم ($B-A$) اضافه است.
اما از این موضوع بگذریم. چیزی که شما نشان دادید این است که اگر $A\subseteq B$ آنگاه $A-B=\emptyset$ و چون $B-A=A-B$ پس باید $B-A$ هم مجموعهٔ تهی باشد. و می‌توانید از آن نتیجه بگیرید که $B\subseteq A$ نیز باید برقرار باشد. از این دو نتیجه می‌شود که $A=B$. اگر می‌خواهید با فرض خلف پیش بروید، از اینکه $A\neq B$ خواهیم داشت که حداقل یکی از دو سمت زیرمجموعه بودن نباید برقرار باشد. اما اگر یکی از دو سمت برقرار باشد آنگاه با کمک $A-B=B-A$ با استدلال بالا به برقراری زیرمجموعه‌بودن از سمت مخالف هم خواهیم رسید و تناقض با فرض خلف خواهد شد. پس با فرض خلف‌مان خواهیم داشت که زیرمجموعه بودن از هر دو سمت نباید برقرار باشد. آیا از این مطلب می‌خواهید استفاده کنید و ادامه دهید؟
توسط Elyas1 (2,266 امتیاز)
+1
@AmirHosein بله.
می خواهم از این نتیجه بگیرم که گزاره مرکب $ \forall x;(x \in A \wedge x  \notin B \Longrightarrow x \notin A \wedge x \in B )$  درست نخواهد بود.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...