معادله $y^{2} -ay+b=0$ مفروض بوده و رابطه $a+10b=m$ بين ضرائب برقرار ميباشد، $m$ به چه صورتي باشد که معادله مذکور جواب طبيعي داشته باشد؟

Question

معادله $x^{2} -ax+b=0$ مفروض بوده و رابطه $a+10b=m$ بين ضرائب برقرار ميباشد، $m$ به چه صورتي باشد که معادله مذکور جواب طبيعي داشته باشد؟

نکته: $a,b,m$ اعداد طبيعي هستند.

Answer 1

ایده ای برای حل:

توجه کنید که اگر معادلۀ فوق دارای جوابهای طبیعی $c_2,c_1$ داشته باشد آنگاه:

$y^2-ay+b=(y-c_1)(y-c_2)=0 \Rightarrow a=c_1+c_2,b=c_1c_2$

حالا اگر $c_2,c_1$ دو عدد طبیعی دلخواه باشند معادلۀ $a+10b=c_1+c_2+10c_1c_2$ حداقل جوابی به صورت $(a,b)=(c_1+c_2,c_1c_2)$ دارد و ممکن است جوابهای دیگر داشته باشد (در چه حالتی؟).برای جواب $(a,b)=(c_1+c_2,c_1c_2)$ معادله جوابهای طبیعی دارد اما برای جوابهای دیگر معادله ممکن است جواب داشته باشد اما جوابها طبیعی نیستند.(؟)

$ \Box $