سه تاییهای $a,b,c$ طبیعی را بگونه ای بیابید که در آن $a>b$، و معادله دیوفانتی $a^2-b^2=c^3$ برقرار باشد.

Question

با درود به همراهان گرامی. سه‌تاییهای $a,b,c$ طبیعی را بگونه‌ای بیابید که در آن $a>b$، و معادله دیوفانتی $a^2-b^2=c^3$ برقرار باشد. طرح سؤال از جانب بنده است و نمیدانم راه حل دیگری دارد یا نه. نمونه جوابها عبارتند از:

$3^2-1^2=2^3$

$10^2-6^2=4^3$

با سپاس پیشین از توجه دوستان گرامی.

Comments

بنظرم سوال خیلی گنگ است.،اولا در مورد C چیزی مطرح نشد، ثانیا منظور از شرط چیست، معادلهٔ دیوفانتی شرطی نیاز نداره.

---

@amir7788 : با درود به دوست و استاد عزیز. توجه مفیدتون باعث شد نکته بهتری را بیابم. سؤالم را با نکته خوبتان اصلاح کردم. با سپاس از همراهی خوبتون.1+

---

@amir7788 : با درود مجدد به دوست گرامی. برای راهنمایی عرض میکنم. همانطور که با مقادیر دلخواه در اتحاد
$(m^2+n^2)^2-(m^2-n^2)^2=(2mn)^2$
و با شرط $m>n$ سه تاییهای فیثاغورثی بدست میاد، اتحادی درباره تفاضل دو مربع وجود داره که حاصل آن مکعب کامل میشه. با استفاده از آن اتحاد، مقادیر خاص a,b,c بدست میاد. دیدگاه خوبتون باعث بدست آوردن آن اتحاد شد. با سپاس صمیمانه.

Answer 1

با فرض

$$a-b=x>0, a+b=y>x$$ داریم $$xy=c^3$$ این معادله دو دسته جواب به صورت زیر دارد

دسته اول)

$$x= n^3, y=m^3, c=nm , n< m$$ در نتیجه برای هر n و m با زوجیت یکسان معادله دارای جوای زیر می باشه $$a= \frac{n^3 +m^3 }{2}, b= \frac{-n^3 +m^3 }{2}, c=nm$$

دسته دوم)

$$x=m n^2, y=nm^2, c=nm , n< m$$ در نتیجه برای هر n و m طبیعی معادله دارای جواب زیر نیز می باشه $$a= \frac{mn^2 +nm^2}{2}, b= \frac{nm^2-mn^2 }{2}, c=nm$$ ‌

Comments

@amir7788 : پاسخی متفاوت اما شایسته و درخور انتخاب بهترین است. پاسخم را آماده کرده ام و در فرصت مناسب تقدیم حضور دوستان گرامی خواهم کرد. با سپاس از همراهی خوبتان.1+

Answer 2

تساوی زیر با استقرا قابل اثبات است:

$1^3 + 2^3 + 3^3 +...+n^3 =( \frac{n(n+1)}{2})^2$

می توان نوشت:

$c^3 = (1^3 + 2^3 +...+ c^3) - (1^3 + 2^3 +..+ (c-1)^3 )= ( \frac{c(c+1)}{2} ) ^2 - ( \frac{(c-1)(c)}{2})^2$

اگر قرار دهیم $a= \frac{c(c+1)}{2}$و $b= \frac{(c-1)(c)}{2}$

خواهیم داشت: $c^3 = a^2 - b^2$

Comments

@Elyas1 : با درود به دوست و همراه خوب. بسیار عالی. در واقع شما از اتحاد تک متغیره $\left(\frac{c(c+1)}{2}\right)^2-\left(\frac{(c-1)c}{2}\right)^2=c^3$ استفاده کرده‌اید که جواب $10^2-6^2=4^3$ را میتوان از آن بدست آورد ولی نمیتوان جواب $17^2-15^2=4^3$ را از آن بدست آورد. بنابراین مانند پاسخ بنده، بسیاری از جوابها از قلم می‌افتند. ولی درکل نکته خوبی است. 1+

Answer 3

با درود به بازدیدگنندگان و همراهان بنده در حل این سؤال. پاسخ بنده به کاملی پاسخ استاد گرامی @amir7788 نیست ولی ذکر آن خالی از لطف نیست. ابتدا دو اتحاد مجزا با نتیجه یکسان را معرفی میکنم که در آن همه متغیرها طبیعی هستند.

اگر $a=2m^3+n^3$ , $b=2m^3-n^3$ , $c=2mn$ داریم:

$(1:)\quad(2m^3+n^3)^2-(2m^3-n^3)^2=(2mn)^3$

و اگر $a=m^3+2n^3$ , $b=m^3-2n^3$ , $c=2mn$ داریم:

$(2:)\quad(m^3+2n^3)^2-(m^3-2n^3)^2=(2mn)^3$

اثبات این دو اتحاد بسیار ساده است و آنرا بعهده توان حتمی دوستان گرامی میگذارم. اما دو نکته مهم در این اتحادها وجود داره.

(1:) مکعب هر عدد زوجی بشکل $2mn$ را میتوان بشرط $m \neq n$ به دو حالت مجزا از تفاضل دو مربع تبدیل کرد. بطور مثال با $m=2$ و $n=1$ داریم.

$(1:)\quad17^2-15^2=4^3$

$(2:)\quad10^2-6^2=4^3$

(2:) اگر پرانتز دارای علامت منفی داخلی، عددی منفی شد، چون توان دوم آن مثبت خواهد بود، از علامت منفی آن میتوان صرفنظر کرد.

از همه بازدیدکنندگان و همراهان گرامی تلاشگر در حل این سؤال سپاسگزارم. تندرست و سرفراز باشید.