درمیان اعداد طبیعی دورقمی غیرتکراری سه تاییهای مرتب را بگونه ای بیابید که مجموع دوبدو آنها مربع کامل باشد. مانند $(10,54,90)$.

Question

با درود بر همراهان و اساتید گرامی. درمیان اعداد طبیعی دورقمی غیرتکراری، سه تاییهای مرتب را بگونه ای بیابید که مجموع دوبدو آنها مربع کامل باشد. طرح سؤال از جانب بنده است و مرجعی ندارد. مثالهای نمونه:

$(10, 54, 90),(12, 52, 69),(14,35,86),(15,34,66),(16,33,48),(26,74,95),(29,52,92),(30,51,70),(48,73,96)$

بکمک کدنویسی فقط $9$ تا سه تایی مرتب غیرتکراری فوق شناسایی شد. آیا راه حل روشمندی برای این مسئله میتوان یافت. با سپاس از توجه دوستان و اساتید گرامی.

Answer 1

با درود به همراهان و استادان گرامی. با کمی تلاش توانستم این مسئله را حل کنم. با پارامترهای طبیعی و دلخواه $s< t< u$ کار را شروع میکنیم و فرض میکنیم:

$a=\frac{s^2+t^2-u^2}{2}$

$b=\frac{s^2-t^2+u^2}{2}$

$c=\frac{-s^2+t^2+u^2}{2}$

نکته‌ایکه از مقادیر $(a,b,c)$ مشخص است این است که از پارامترهای $(s,t,u)$ یا باید همه زوج باشند یا دوتا فرد و یکی زوج، تا بر $2$ بخشپذیر باشند. با توجه به خوشترتیبی $(s,t,u)$ طبیعی است که $a< b< c$ خواهد بود و خواهیم داشت.

$a+b=s^2$

$a+c=t^2$

$b+c=u^2$

که در آن $a$ از همه اعداد مطلوب ما کوچکتر است. بنابراین کافیست $s^2+t^2-u^2>0$ باشد، تا همه اعداد $(a,b,c)$ طبیعی باشند. برای اینکه $(9< a,b,c< 100)$ باشند، کافیست دستگاه نامعادله زیر را حل کنیم.

$\frac{s^2+t^2-u^2}{2}>9$

$100>\frac{-s^2+t^2+u^2}{2}$

که نتیجه بشکل زیر خواهد بود:

$u^2-s^2< 91$

از راهنمایی و راه حلهای متفاوت همراهان گرامی سپاسگزار خواهم بود. با سپاس از توجه همه دوستان.

Comments

جوابهای  بدست آمده درسته که در شرایط صدق می کنه اما از کجا مطمئن شویم تمام جوابهای مورد نظر است. شاید بین پارامترها با روابط دیگر نیز وجود داشته باشه.

---

@amir7788 : با درود به دوست و استاد همراه خوب. ممکنه با دو پارامتر یا بیشتر از سه پارامتر هم جواب داشته باشه. ولی مطمئناً با سه پارامتر جواب کاملیست. چون یک طرف اعداد خطی است که بصورت اتحاد، مجموع معادل کسری دوبدو آنها مربع کامل میشود. همانگونه که میدانید در حالت اتحادهای کسری با رعایت شرایط کسر، هر عددی صدق میکند. همراهی و دیدگاههای سازنده تون قابل تقدیره.

---

بسیار عالی، حق با شماست اگر جوابها را بدست می آوردید عالی بود، مثلا کمترین مقدار u  عدد9 می باشه که t=8 و s=7  می باشه که با این سه مقدار a=16 و b=33 و در نهایت c=48  بدست می آید.

---

@amir7788 : با درود. راه حلتان درسته. من مسئله را در حالت کلی حل کردم. ذهنیت من اینه که تحلیل موردی مسئله درحد توان بازدیدکنندگان عزیز قرار داره. با اینحال امیدوارم اگر کوتاهی هست، مرا ببخشید. همراهی خوبتون برایم بسیار ارزشمند است. پیروز و پاینده باشید. 1+

Answer 2

فرض می کنیم سه عدد طبیعی a و b و c در شرایط زیر صدق کنند

$$9< a< b< c< 100$$ همچنین فرض کنیم سه عدد طبیعی s و t و uوجود دارند بطوریکه $$a+b=s^2 >21$$ $$a+c=t^2$$ $$b+c=u^2 < 1 98$$

از سه رابطه فوق نتایج زیر بدست می آید

$$4< s< t< u< 15 \Rightarrow 7\leq u \leq 14$$

$$a= \frac{s^2 +t^2 - u^2 }{2 }$$ $$b= \frac{s^2 - t^2 +u^2 }{2 }$$ $$c= \frac{-s^2 +t^2 + u^2 }{2 }$$

هر سه پارامتر s, t و u زوج هستند یا فقط یکی زوج است.(*)

• حالتهای u را بررسی می کنیم $$u=14 \rightarrow t=13 \& s=11\Rightarrow c>100 ×$$

مقدار s= 12 نیست چون دو زوج بین پارامترها ممکن نیست. همچنین با بقیه مقادیر s و t نیز به تناقض می رسیم.

$$u=13 \rightarrow t=12 \& s=11\Rightarrow a=48,b=73,c=96$$ $$u=13 \rightarrow t=11 \& s=10\Rightarrow a=26,b=74,c=95$$ $$u=12\rightarrow t=11 \& s=9\Rightarrow a=29,b=52,c=92$$ $$u=12\rightarrow t=10\& s=8\Rightarrow a=10,b=54,c=90$$ $$u=11\rightarrow t=10\& s=9\Rightarrow a=30,b=51,c=70$$ $$u=11\rightarrow t=9\& s=8\Rightarrow a=12,b=52,c=69$$ $$u=11\rightarrow t=10\& s=7\Rightarrow a=14,b=35,c=86$$ $$u=10\rightarrow t=9\& s=7\Rightarrow a=15,b=34,c=66$$ $$u=9\rightarrow t=8\& s=7\Rightarrow a=16,b=33,c=48$$ $$u=8\rightarrow t=7\& s=5\Rightarrow a< 10 ×$$

همچنین sیاtنمی توانند زوج باشه چون تناقض ایجاد می شه

$$u=7\rightarrow t=6\& s=5\Rightarrow a< 10×$$

بنابراین جواب همان نه تا می باشه.