آیا رابطه زیر جوابهای بیشماری در اعداد طبیعی دارد؟ $$x^2-2y^2+1=0$$

Question

با درود به همراهان گرامی. آیا رابطه زیر جوابهای بیشماری در اعداد طبیعی دارد؟ اگر بله، فرمولی برای جوابهای محتمل میتوان یافت؟

$$x^2-2y^2+1=0$$ نمونه جواب $(x,y=7,5)$ . جوابهای زیادی از wolfram alpha تحت اندروید گرفتم که پنج تا از کوچکترین هایش عبارتند از:

$$(1,1);(7,5);(41,29);(239,169);(1393,985)$$

ولی جواب پارامتری برای این معادله نمیدهد. با کد زیر در پایتون

from math import sqrt
print("y",",","x")
for y in range(1,50000000):
    x=sqrt(2*y**2-1)
    if x==int(x):
        print(y,",",int(x))

جوابهای زیر را برای $(y,x \in \mathbb{N})$ دریافت کردم.

>>> 
y , x
1 , 1
5 , 7
29 , 41
169 , 239
985 , 1393
5741 , 8119
33461 , 47321
195025 , 275807
1136689 , 1607521
6625109 , 9369319
38613965 , 54608393
>>> 

از قرار معلوم تعداد $(y,x \in \mathbb{N})$ هایی که در این معادله صدق میکنند، کم است ولی تا راه حل کامل نمیتوان گفت محدود یا نامحدود است.

Comments

فکر کنم با یه معادله دیوفانتی طرف هستی که می شه حلش کرد. دست کم جواب های (1,1) , (3,2) رو هم به مجموعه جوابت اضافه کن

---

@rafig256 : با درود به دوست و استاد گرامی. بسیار عالی. درباره جواب $(1,1)$ کاملاً حق با شماست. اگر اشتباه نکنم جواب $(3,2)$ به جمع جبری $2$ میرسد که مطلوب سؤال نیست. همراهی خوبتان ارزشمند است. تندرست و موفق باشید. 1+

---

بلی. در مورد جواب 3و2 حق با شماست. من هم به این سوال علاقمند شدم.
همواره y بین x/sqrt(2)+1 و x/sqrt(2) خواهد بود. چون جواب نیست تایپش نکردم. اگر به کارتون بیاد اثباتش رو ارسال می کنم خدمتتون.
به نظرم با توجه به محدوده کمی که عبارت بالا برای y باز می گذاره برای محاسبه های عددی می تونه کمک خوبی باشه.

---

@rafig256 : با درود مجدد. هر مطلبی که بتواند کمکی به حل این مسئله نماید، مورد استقبال است. با سپاس مجدد از همراهی خوبتان. 1+

Answer 1

در ابتدا باید بگوییم که این معادله، حالت منفی معادلات Pell است. این معادلات به طور وسیعی در ریاضیات بررسی شده اند و جواب های آنها پیدا شده اند. این مقاله را بخوانید و توجه کنید معادله شما دقیقا در متن مقاله آمده است.

در پاسخ مستقیم به پرسش ما، بله این معادله بیشمار جواب دارد. اگر $x$ و $y$ جوابی از معادله باشد، آنگاه $3x+4y$ و $2x+3y$ نیز جوابی از معادله است. پس طبیعتا بیشمار جواب حاصل میشود. علاوه بر این، تمام جواب های این معادله از طریق رابطه مذکور ساخته می شوند.

برای مطالع بیشتر این را مطالعه فرمایید. در ضمن در کتاب های نظریه اعداد میتوانید اطلاعات بیشتر درباره معادله پل را بیابید.

Comments

@بی نام : با درود به همراه گرامی. بسیار عالی. در واقع $(3x+4y)$ بجای $(x)$ قبلی و $(2x+3y)$ بجای $(y)$ قبلی می‌نشیند. آیا برای این سؤال پاسخ پارامتری ارائه شده بطوریکه با $(a,b)$ دلخواه خودمان برای $(x,y)$ اعداد فوق را تولید کند؟

Answer 2

یک راه محاسبه یافتن جوابهای حقیقی را در زیر بیان کنم هرچند منظور سوال را نمی رساند.

$$x^2-2y^2+1=0$$

حال $2y^2$را به طرفین اضافه می کنیم.

$$x^2-2y^2+1+2y^2=2y^2$$ $$x^2+1=2y^2$$ $$x=\sqrt{2y^2-1}$$ $$x=-\sqrt{2y^2-1}$$

که با قرار دادن مقادیر جواب ها را یافت که شامل مقادیر مثبت و منفی حقیقی است. دامنه مقادیر $y$ در مقدار دهی هم باید لحاض گردد .

Comments

@mahdiahmadileedari :
با درود به دوست و استاد گرامی. عدد داخل رادیکال را میتوان بشکل زیر هم نوشت.
$$\sqrt{(y-1)(y+1)+y^2}$$
که حاکی از دخیل بودن سه عدد متوالی در داخل رادیکال است ولی کمکی به حل پارامتری این مسئله نمیکند. گویا حل بی نقص این معادله دیوفانتی فقط با کسرهای مسلسل امکانپذیر است. حل معادله pell مثبت راحت تر از این معادله است که در آن عدد $1$ در سؤال منفی است. 1+

---

@ناصر آهنگرپور سپاسگزارم از لطف تون

Answer 3

$x_n = \frac{[(3+2\sqrt{2})^n - (3-2\sqrt{2})^n]}{2\sqrt{2}}$

$y_n = \frac{[(3+2\sqrt{2})^n + (3-2\sqrt{2})^n]}{2}$

که $n$ عددی صحیح و بزرگتر یا مساوی با ۰ است.

Comments

@Helper : با درود و سپاس از همراهی خوبتان. با n=2 در فرمولهای شما داریم x=12 و y=17 . با جایگذاری این مقادیر در فرمول اصلی مقدار 433- حاصل میشود که مطلوب سؤال نیست. فرمول همراه گرامی @بی نام ، بدرستی عمل میکرد و تنها عیب آن این بود که به جواب اولیه نیاز داشت. تندرست و موفق باشید.

Answer 4

با درود به دوستان و اساتید گرامی. در سایت ریاضی stackexchange فرمول بی‌نظیری برای $n$ امین $x,y$ یافتم که اثباتی برایش ارائه نکرده ولی چون جواب دقیق میدهد، در اینجا ذکر میکنم. این فرمول بشرح زیر است.

$$(1)\quad x^2-2y^2+1=0$$ جوابهای طبیعی $x_{n},y_{n}$ را تنها با یک پارامتر دلخواه $n$ و فرمول زیر میتوان یافت. $$(\sqrt{2}+1)^{2n-1}=x_{n}+y_{n}\sqrt{2}$$ باید توجه کرد که سمت چپ معادله اگر بصورت رادیکال (و نه اعشاری) محاسبه شود، $n$ امین $x,y$ در سمت راست ظاهر میشود. مثالهای زیر نشاندهنده کارآمدی این فرمول است. $$n=1\Longrightarrow (\sqrt{2}+1)^1=1+1\sqrt{2}$$ $$n=2\Longrightarrow (\sqrt{2}+1)^3=7+5\sqrt{2}$$ $$n=3\Longrightarrow (\sqrt{2}+1)^5=41+29\sqrt{2}$$ باید توجه کرد که از بکاربردن $\sqrt{2}$ بعنوان $y_{n}$ اجتناب کرد و تنها مضرب آنرا در فرمول $(1)$ بکار برد. اگر دوستان و اساتید گرامی اثباتی برای این فرمول دارند، از ارائه آن سپاسگزار خواهم بود. با سپاس از همراهی دوستانه همراهان و اساتید گرامی.