با درود به همراهان گرامی. آیا رابطه زیر جوابهای بیشماری در اعداد طبیعی دارد؟ اگر بله، فرمولی برای جوابهای محتمل میتوان یافت؟
$$x^2-2y^2+1=0$$
نمونه جواب $(x,y=7,5)$ . جوابهای زیادی از wolfram alpha تحت اندروید گرفتم که پنج تا از کوچکترین هایش عبارتند از:
$$(1,1);(7,5);(41,29);(239,169);(1393,985)$$
ولی جواب پارامتری برای این معادله نمیدهد. با کد زیر در پایتون
from math import sqrt
print("y",",","x")
for y in range(1,50000000):
x=sqrt(2*y**2-1)
if x==int(x):
print(y,",",int(x))
جوابهای زیر را برای $(y,x \in \mathbb{N})$ دریافت کردم.
>>>
y , x
1 , 1
5 , 7
29 , 41
169 , 239
985 , 1393
5741 , 8119
33461 , 47321
195025 , 275807
1136689 , 1607521
6625109 , 9369319
38613965 , 54608393
>>>
از قرار معلوم تعداد $(y,x \in \mathbb{N})$ هایی که در این معادله صدق میکنند، کم است ولی تا راه حل کامل نمیتوان گفت محدود یا نامحدود است.