به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
327 بازدید
در دبیرستان توسط hosna20 (25 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

گیریم $X=\lbrace a,b,c \rbrace$ یک مجموعهٔ ناتهی است. نشان دهید که $ P(X) $ مجموعهٔ توانی $ X $ با رابطه شمول ($ \subseteq $) روی $P(X) $ جزئا مرتب است.

توسط m.t.riazi (399 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
+3
hosna20@ شما در حل این سوال چقدر تلاش کردید؟ مثلاً وقتی سوال می گوید مجموعه ای تحت یک رابطه، جزئاً مرتب هست، یعنی چی؟ از تعاریف استفاده کنید و آنها را تحت رابطه گفته شده روی مجموعه مدنظر اعمال کنید. اگر در بخشی مشکل داشتید، مشکل را به همراه تلاشتان بنویسید تا کاربران شما را راهنمایی کنند.
ضمناً روی تایپ ریاضی هم دقت کنید، می توانید از لینک زیر استفاده کنید.
https://math.irancircle.com/56/

1 پاسخ

+3 امتیاز
توسط m.t.riazi (399 امتیاز)
انتخاب شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

به نام خدا

با در نظر گرفتن مجموعه غیر تهی $X$، $P(X)$ مجموعه تمام زیر مجموعه های $X$ هست، فرض کنیم $ A_{i} $ و $A_{j}$ و $A_{k}$ سه تا از عناصر $P(X)$ باشد. برای اینکه ثابت کنیم $(P(X), \subseteq )$ جزئاً مرتب هست باید نشان دهیم که رابطه شمول، یک رابطه ترتیبی روی مجموعه $P(X)$ هست.

یک رابطه زمانی ترتیبی هست که دارای سه خاصیت انعکاسی ، پادتقارنی و تعدی باشد، پس:

بررسی خاصیت انعکاسی:

$ \forall A_{i} \in P(X) : A_{i} \subseteq A_{i}$

می دانیم هر مجموعه زیرمجموعه خودش است، پس خاصیت انعکاسی برقرار است.

بررسی خاصیت پادتقارنی :

$\forall A_{i} ,A_{j}\in P(X): A_{i} \subseteq A_{j},A_{j} \subseteq A_{i} \rightarrow A_{i}=A_{j}$

همچنین میدانیم که هرگاه دو مجموعه زیر مجموعه همدیگر باشند در اینصورت آن دو مجموعه با هم برابرند، پس خاصیت پادتقارنی نیز برقرار هست.

بررسی خاصیت تعدی :

$\forall A_{i} ,A_{j},A_{k}\in P(X): \begin{cases}A_{i} \subseteq A_{j} & \\A_{j} \subseteq A_{k} & \end{cases} $

$ \rightarrow A_{i} \subseteq A_{k}$

به روش عضوگیری براحتی مشخص می شود که خاصیت تعدی هم برقرار هست.

در نهایت با برقرار بودن این سه خاصیت، $(P(X), \subseteq )$جزئاً مرتب می باشد.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...