به نام خدا
با در نظر گرفتن مجموعه غیر تهی $X$، $P(X)$ مجموعه تمام زیر مجموعه های $X$ هست، فرض کنیم $ A_{i} $ و $A_{j}$ و $A_{k}$ سه تا از عناصر $P(X)$ باشد. برای اینکه ثابت کنیم $(P(X), \subseteq )$ جزئاً مرتب هست باید نشان دهیم که رابطه شمول، یک رابطه ترتیبی روی مجموعه $P(X)$ هست.
یک رابطه زمانی ترتیبی هست که دارای سه خاصیت انعکاسی ، پادتقارنی و تعدی باشد، پس:
بررسی خاصیت انعکاسی:
$ \forall A_{i} \in P(X) : A_{i} \subseteq A_{i}$
می دانیم هر مجموعه زیرمجموعه خودش است، پس خاصیت انعکاسی برقرار است.
بررسی خاصیت پادتقارنی :
$\forall A_{i} ,A_{j}\in P(X): A_{i} \subseteq A_{j},A_{j} \subseteq A_{i} \rightarrow A_{i}=A_{j}$
همچنین میدانیم که هرگاه دو مجموعه زیر مجموعه همدیگر باشند در اینصورت آن دو مجموعه با هم برابرند، پس خاصیت پادتقارنی نیز برقرار هست.
بررسی خاصیت تعدی :
$\forall A_{i} ,A_{j},A_{k}\in P(X): \begin{cases}A_{i} \subseteq A_{j} &
\\A_{j} \subseteq A_{k} & \end{cases} $
$ \rightarrow A_{i} \subseteq A_{k}$
به روش عضوگیری براحتی مشخص می شود که خاصیت تعدی هم برقرار هست.
در نهایت با برقرار بودن این سه خاصیت، $(P(X), \subseteq )$جزئاً مرتب می باشد.
