ثابت کنید بزرگترین کران پائین یک زیرمجموعه از مجموعهٔ جزئا مرتبِ $P(X)$ برای مجموعهٔ ناتهی $X$ برابر با اشتراک تمام اعضایش است.

Question

برای $ X \ne \phi $، مجموعهٔ جزئا مرتب $(P(X), \subseteq )$ را در نظر بگیرید. اگر $A\subseteq P(X)$، ثابت کنید: $$\inf A = \cap_{S\in A} S$$

Comments

@saragh79 با اینکه این مطلب پیرامون چیزی در یک فصل از یک کتاب با عنوان «اصل انتخاب و برخی از صورت‌های هم‌ارز آن» است، اما چیزی که در پرسش مطرح شده‌است در مورد اصل انتخاب نمی‌پرسد و یا قصد استفاده از اصل انتخاب برای انجام کاری ندارد برای همین برچسب اصل انتخاب خیلی مرتبط نیست (هر چند که هر وقت به تهی‌/ناتهی بودن یک مجموعه فکر می‌کنید به نوعی اصل انتخاب به صورت نامحسوس در بین است). مثلا وقتی در مورد هم‌ارزی اصل انتخاب با اصل خوشترتیبی سوال می‌پرسید، آنگاه برچسب اصل انتخاب مرتبط است (البته این فقط یک مثال مرتبط است، مسائل زیادی می‌توانید بیابید).

Answer 1

برای $\forall S\in A$ داریم $ \cap_{S\in A} S \subseteq S \hspace{0.2cm}$. پس $ \cap_{S\in A} S $ یک کران پایین برای مجموعه $A$ می باشد. فرض کنیم $E$ یک کران پایین مجموعه $A$ باشد .پس برای هر $ S\in A$ داریم $E \subseteq S$ پس $E \subseteq \cap_{S\in A} S $ پس $\inf A=\cap_{S\in A} S$.