Question

گیریم (>=A) یک مجموعه جزئا مرتب است ک در آن هرزیر مجموعه کلا مرتب یک کران پایین دارد نشان دهید که A عنصر مینیمال دارد

Answer 1

فرض کنیم $(A, \preceq )$ یک مجموعه مرتب جزیی باشد که در آن هر زیرمجموعه مرتب کلی (زنجیر)، یک کران پایین دارد. رابطه $ \unlhd $ را روی $A$ برای هر $ a,b\in A $ به این صورت تعریف می کنیم که $a \unlhd b \Leftrightarrow b \preceq a$ در این صورت، به سادگی نتیجه می شود که $(A, \unlhd )$ یک مجموعه مرتب جزیی است که در آن هر زیرمجموعه مرتب کلی، یک کران بالا دارد. بنا بر لم زرن (تسورن)، این مجموعه مرتب، دارای عنصر ماکسیمال است. اما هر عنصر ماکسیمال در این مجموعه مرتب، یک عنصر مینیمال در $(A, \preceq )$ است.