اگر هر زیر مجموعه کلا مرتب یک مجموعه جزئا مرتب یک کران بالا داشته باشد. برای هر عضو آن یک عنصر ماکسیمال وجود دارد

Question

گیریم $(A,\leq )$ یک مجموعه جزئا مرتب است که در آن هر زیر مجموعه کلا مرتب یک کران بالا دارد و فرض کنیم $a \in A$ آن گاه $A$ یک عنصر ماکسیمال $u$ دارد به قسمی که $u \geq a$.

Answer 1

تعریف می کنیم $C=\{x\in A\hspace{0.1cm}|a\leq x\}$ و $\leq_{C}=\leq \cap (C\times C)$ . در واقع رابطه داده شده رو تحدید کردیم روی $C$. حالا به روشنی $(C,\leq_C)$ یک مجموعه مرتب جزئی است و هر زنجیر در آن دارای کران بالا می باشد (چرا که هر زیرمجموعه مرتب کلی از آن یک زیرمجموعه مرتب کلی از $(A,\leq)$ می باشد که طبق فرض کران بالا دارد) پس طبق لم زورن $C$ یک عنصر ماکسیمال مانند $u$ دارد. پس $a\leq u$ و $u$ یک عنصر ماکسیمال در $A$ است چرا که اگر $f\in A$ موجود باشد به طوری که $u\leq f$ آن گاه $a\leq f$ (چرا که $u\in C$ و $a\leq u$) پس $f\in C$ و $f=u$. این اثبات رو کامل میکنه.

Comments

فقط یک مساله در اینجا وجود دارد که اثبات نشده است. البته ساده است ولی میخواهم بدانم آیا خودتان دلیلش را می دانید یا نه
شما گفتین هر زنجیر در C دارای کران بالا است و استناد کردین به این که هر زنجیر در C یک زنجیر در A است و بنابر فرض در A دارای کران بالا است. باید اثبات شود که زنجیر در نظر گرفته شده، دارای کران بالایی در C است. یعنی باید اثبات شود که همه یا بعضی از کرانهای بالایی که برای زنجیر در A یافته ایم، در C قرار دارند.