Question

اگر نمایش اعشاری دو عدد را برای هر $n$ دلخواه، بعد از رقم $n$-اُم گرد کنیم و دو عدد حاصل برابر شوند، ثابت کنید دو عدد اولیه برابر بودند.

Answer 1

فرض کنید $a$ و $b$ دو عدد حقیقی هستند و به ازای هر عدد طبیعی $n$ , اعداد $a_{n}$ , $b_{n}$ به ترتیب گرد شده اعداد $a$ و $b$ بعد از $n$ رقم اعشار باشد . پس به ازای هر عدد طبیعی $n$ داریم :

$$| a_{n} - a | < 10^{-n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | b_{n} - b | < 10^{-n}$$

حال با استفاده از نامساوی مثلثی داریم :

$$| a - b | \ \leq \ \mid a_{n}-a \mid + \mid a_{n}-b_{n} \mid + \mid b_{n}-b \mid$$

اما طبق فرض به ازای هر عدد طبیعی $n$ گرد شده اعداد $a$ و $b$ بعد از $n$ رقم اعشار برابر هستند پس به ازای هر عدد طبیعی $n$ داریم $a_{n}=b_{n}$ پس $\mid a_{n}-b_{n} \mid =0$ . بنابراین به ازای هر عدد طبیعی $n$ داریم :

$$| a - b | \ \leq \ \mid a_{n}-a \mid + \mid b_{n}-b \mid < 10^{-n} + 10^{-n} = 2 \times 10^{-n}$$

بنابراین به ازای هر عدد طبیعی $n$ داریم $| a - b | \ \leq 2 \times 10^{-n}$ . چون $lim_{n \rightarrow \infty } \ 2 \times 10^{-n}=0$ پس $| a-b | =0$ در نتیجه $a=b$ .

Answer 2

• برهان خلف: فرض می کنیم که $$a \neq b (1)$$ پس بدون آنکه که کلیت مسئله لطمه وارد شود فرض می کنیم در اولین رقمی بعد از اعشار که این دو عدد یکسان نیستد رقم m ام باشد در این صورت گردشده این دو عدد از رقم m به بعد با هم برابرنیست این با فرض مسئله در تناقض است. بنابراین فرض (1) باطل است.