فرض کنید $a$ و $b$ دو عدد حقیقی هستند و به ازای هر عدد طبیعی $n$ , اعداد $a_{n}$ , $b_{n}$ به ترتیب گرد شده اعداد $a$ و $b$ بعد از $n$ رقم اعشار باشد . پس به ازای هر عدد طبیعی $n$ داریم :
$$ | a_{n} - a | < 10^{-n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | b_{n} - b | < 10^{-n}$$
حال با استفاده از نامساوی مثلثی داریم :
$$ | a - b | \ \leq \ \mid a_{n}-a \mid + \mid a_{n}-b_{n} \mid + \mid b_{n}-b \mid $$
اما طبق فرض به ازای هر عدد طبیعی $n$ گرد شده اعداد $a$ و $b$ بعد از $n$ رقم اعشار برابر هستند پس به ازای هر عدد طبیعی $n$ داریم $a_{n}=b_{n}$ پس $ \mid a_{n}-b_{n} \mid =0$ . بنابراین به ازای هر عدد طبیعی $n$ داریم :
$$| a - b | \ \leq \ \mid a_{n}-a \mid + \mid b_{n}-b \mid < 10^{-n} + 10^{-n} = 2 \times 10^{-n}$$
بنابراین به ازای هر عدد طبیعی $n$ داریم $| a - b | \ \leq 2 \times 10^{-n}$ . چون $lim_{n \rightarrow \infty } \ 2 \times 10^{-n}=0 $ پس $ | a-b | =0$ در نتیجه $a=b$ .
