آیا با در نظر گرفتن حاصلضرب اعضای زیرمجموعههای مجموعهٔ اعداد اول می توان هم ارزی ای ساخت که اعداد اول و مجموعهٔ توانی اش را هم عدد کند؟

Question

فرض کنید که مجموعه ای با نام pداریم که: $p=\lbrace a\in\mathbb{N}\mid a \text{ prime} \rbrace$ میدانیم که این مجموعه شماراست چون هم زیر مجموعه ی اعداد طبیعی است و هم نامتناهی( طبق قضیه ی اقلیدس). حال مجموعه ی توانی این مجموعه را مینویسیم. $\rho (p)= { {5,2} ، {3,5}، {7} ,...}$ حال مجموعه ی جدیدی را با نام tتعریف میکنیم. $t={10,15,7،...}$ حال پرسش پیش میاید که tبا مجموعه ی توانی pچه ارتباطی دارد. اگر اعضای هر عضو مجموعه توانی pرا در هم ضرب کنیم و مقابلش بنویسیم به مجموعه ی tدست خواهیم یافت. در عین حال میدانیم که tهیچ عضو تکراری ای ندارد چون هر عدد فقط یک جور شمارنده ی اول دارد. در عین حال هم میدانیم tفقط شامل اعداد طبیعی است.پس tصد در صد یا زیر مجموعه ی اعداد طبیعی است یا خود مجموعه ی اعداد طبیعی.ولی میدانیم که اعدادی مثل ۲۴ و ۱۸ و ۱۶ و... از ضرب اعداد اول متمایز و غیر تکراری به دست نمی آیند.پس این اعداد عضو t نیستند. که یعنی tزیر مجموعه ای نامتناهی از اعداد طبیعی است که یعنی tشماراست.این یعنی مجموعه توانی مجموعه ی pهم که با tهم ارز بود،شماراست.ولی مشکل اینجاست که طبق قضیه ی کانتور یک مجموعه و مجموعه ی توانی اش نمیتوانند هم ارز باشند. میخواستم که غلط های این اثبات رابگویید

Comments

مجموعه ی شمارا نامتناهیست .
https://fa.m.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%AC%D9%85%D9%88%D8%B9%D9%87_%D8%B4%D9%85%D8%A7%D8%B1%D8%A7
به این لینک مراجعه کنید

---

@azadآزاد برای گذاشتن ابرو (آکولاد) در دستور لاتک باید از یک خط مورب قبل از علامت ابرو استفاده کنید `\`. یا راه بهتر این است که برای ابروی سمت چپ از `\lbrace` و برای ابروی سمت راست از `\rbrace` استفاده کنید. برایتان ویرایش کردم. می‌توانید بر روی علامت مدادشکل کلیک کنید تا دستوری که تایپ کردم را ببینید.

---

@azadآزاد در پیوندی که از ویکی‌پدیا گذاشتید نوشته است یک مجموعه شمارا است اگر بین آن و زیرمجموعه‌ای از اعداد طبیعی تناظر یک به یک باشد، خب کجای این جمله نامتناهی بودن را می‌رساند؟

---

ببخشید منظور من این است که با مجموعه ی اعداد طبیعی هم ارز است

---

@azadآزاد می‌توانید بر روی دکمهٔ مدادشکل زیر پست‌تان کلیک کنید و متن را ویرایش کنید.

Answer 1

یک هم‌ارزی یک نگاشت است که تابع، یک‌به‌یک و پوشا باشد. شما ابتدا باید نگاشتِ هم‌ارزی‌تان را دقیق تعریف کنید. مجموعهٔ عددهای اول را با $P$ نمایش دهید. شما می‌گوئید اگر یک زیرمجموعه از این مجموعه که عضوی از مجموعهٔ توانیِ آن یعنی $\mathcal{P}(P)$، برداریم آنگاه حاصلضرب اعضای آن یک عدد طبیعی است، سپس مجموعهٔ این عددها را با $T$ نمایش می‌دهید و می‌خواهید یک هم‌ارزی بین $P$ و $T$ بگذارید و چون تصور دارید $T\subseteq\mathbb{N}$ پس توقع دارید که مجموعهٔ توانی مجموعهٔ عددهای اول همانند $P$ هم‌عدد با $\mathbb{N}$ شود. ولی شما توجه نکرده‌اید که تنها می‌توانید مطمئن باشید که حاصلضرب تعداد متناهی عدد یک عدد خواهد شد! همانند جمع که زمانی‌که تعداد نامتناهی عدد را می‌خواهید جمع کنید (مثلا شمارای نامتناهی) با یک سری سر و کار دارید که ممکن است همگرا نباشد جه برسد عدد باشد یا خیر! ضرب هم همینطور است. شما وقتی ضرب یا جمع را تعریف کرده‌اید فقط بین دو عضو تعریفش کرده‌اید و سپس چون شرکت‌پذیری داشت برای تعداد متناهی عدد نیز با استقرای ریاضی قابل انجام است. ولی آیا برای نامتناهی عضو هم تعریف کرده‌اید؟ برای نمونه خود مجموعهٔ عددهای اول (تمام اعضایش) نیز یک زیرمجموعه از خودش است. حاصلضرب تمام اعضایش چه عددی می‌شود؟

بنابراین شما واقعا یک هم‌ارزی نساخته‌اید و در نتیجه اثبات نکرده‌اید که $|P|=|\mathcal{P}(P)|$ که اتفاقا گزاره‌ای نادرست است.

Comments

من هم در مورد مجموعه های دیگر با شما هم عقیده ام و حتی خودم یک اثبات برای قضیه ی کانتور نوشتم ولی ظاهرا این مورد تناقض دارد

---

متوجه نمیشوم که کجایش تعریف نشده است

---

@azadآزاد وقتی می‌گوئید نگاشت از $A$ به $B$، پس باید هر عضو از $A$ را به عضوی از $B$ ببرد. همانگونه که نگاشت $\sqrt{x}$ وقتی از اعداد حقیقی به اعداد حقیقی در نظر گرفته می‌شود، روی عددهای منفی تعریف نمی‌شود، نگاشت شما نیز وقتی هم‌دامنه را زیرمجموعه‌ای از اعداد طبیعی می‌گیرید روی زیرمجموعه‌های نامتناهی اعداد اول تعریف نمی‌شود.
بقیهٔ متن‌های گذاشته شده را نیز با دقت بخوانید و عجولانه دیدگاه گذاری نکنید.

---

فکر کنم در همین مثالی که شما زدید رادیکال بی نهایت تعریف شده نیست

---

@azadآزاد در دیدگاه من حرفی از «رادیکال بینهایت» می‌بینید؟ شما در مجموعهٔ اعداد حقیقی، عضوی به نام بینهایت دارید؟