به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
179 بازدید
در دانشگاه توسط saragh79 (60 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

گیریم $A$ یک مجموعه ٔدلخواه با بیش از یک عنصر است. ثابت کنید که یک نگاشتِ دوسوییِ $f:A \longrightarrow A$ وجود دارد به طوری که برای هر $x\in A$ داشته باشیم $f(x)\neq x$.

مرجع: نظریه مجموعه ها و کاربرد های آن از شووینگ تی،لین و یو-فنگ،لین
توسط AmirHosein (10,288 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
@saragh79
- واژهٔ «بیژکسیون» (بیژِکْسیُنْ) تلفظ فرانسویِ واژهٔ bijection است. این واژه در هر دوی فرانسوی و انگلیسی به یک شکل نوشته ولی متفات تلفظ می‌شود، تلفظ انگلیسی آن شبیه به «بایْجِکْشِنْ» است. ولی در هر صورت معنا و هم‌ارز فارسی آن موجود است و «دوسویی» گفته می‌شود. بهتر است در متن فارسی از «دوسویی» استفاده کنید نه نوشتن تلفظ آن در زبان‌های دیگر.
- عنوان پرسش‌تان هم مناسب نبود. «اثبات بیژکسیون بودن یک تابع» یعنی یک تابع دارید، حالا می‌خواهید دوسویی بودنش را ثابت کنید. در صورتی که در خود پرسش قرار است یک تابع بسازید که دوسویی باشد. بعلاوه فقط دوسویی بودن خواسته نشده. سعی کنید عنوان پرسش‌های بعدی‌تان را بهتر بنویسید.
توسط saragh79 (60 امتیاز)
–1
@amirhosein والا من سوال رياضى داشتم وقت نكردم فرهنگ لغت نگاه كنم ببينم فرانسوى و انگليسى دو جور خونده و هر چيز ديگه!!! من سوال رياضى هم كه بنده داشتم اين كلمه رو به كار برده بود
توسط AmirHosein (10,288 امتیاز)
+2
@saragh79 ندانستن عیب نیست ولی اشتباه کردن پس از دانستن عیب است. به جای گلایه‌مند، ناراحت یا عصبانی شدن بعد از اینکه فردی نکته‌ای به شما می‌گوید بهتر است که آن را بیاموزید و از آن به بعد آن را به کار بگیرید. اگر من به جای شما باشم، تشکر هم می‌کنم از دوستانی که چیزی به من آموزش می‌دهند یا اشتباهی از من را خاطرنشان می‌شوند.
به هر حال در ترجمهٔ فارسی کتابی که خودتان مرجع ذکر کرده‌اید که توسط نشر دانشگاهی چاپ و آقای «عمید رسولیان» انجام داده‌اند واژهٔ «دوسویی» استفاده شده است و تلفظ فرانسوی با حروف فارسی نوشته نشده است. اگر شما این نسخه از کتاب را در دست دارید که آنگاه متوجه منظور دیدگاه‌تان نمی‌شوم، اگر نسخهٔ زبان اصل و انگلیسی کتاب را دارید که bijection نوشته شده است و در صورت ندانستن ترجمهٔ آن می‌توانستید خود واژه‌ای که دیده‌اید را بنویسید و دیگر کاربرها ترجمهٔ فارسی آن را به شما خواهند گفت. احتمال هم دارد که مدرس کلاس درس‌تان از این واژه در صحبت کردنش استفاده کرده‌باشد و شما از ایشان آموخته باشید. که در این صورت هم الآن دیگر می‌دانید که فارسی آن دوسویی است.
توسط kazomano (2,384 امتیاز)
+2
@AmirHosein
در ترچمه آقای عمید رسولیان در فصل سوم از واژه های یک به یک و انژکسیون،پوشا و سوژکسیون، دوسویی و بیژکسیون استفاده شده. در فصل هفت که مربوط به اصل انتخاب میشه مترجم به جای یک به یک و دوسویی از انژکسیون و بیژکسیون استفاده کرده یعنی صورت سوال نوشته شده توسط
@saragh79 همون چیزیه که آقای عمید رسولیان ترجمه کرده. من ترجمه دکتر امیرهوشنگ یمینی رو هم نگاه کردم که ایشون از انژکسیون و بیژکسیون استفاده نکرده و در این سوال دوسویی رو تناظر یک به یک ترجمه کرده. البته از نظر خودم باید از یک به یک و دوسویی استفاده بشه.
توسط AmirHosein (10,288 امتیاز)
+3
@kazomano ممنون از اینکه اشاره کردید. بلی الآن که دوباره چک کردم در نسخهٔ چاپ سیزدهم (سال ۱۳۸۸) هر دو شکل نوشتاری رؤیت می‌شود. برای نمونه در تمرین ۱۷ تمرین‌های بخش ۳.۶ صفحهٔ ۹۲ «دوسویی» نوشته‌شده است و در تمرین ۲ تمرین‌های بخش ۷.۱ صفحهٔ ۱۵۳ «سورژکسیون» (که فارسی آن پوشا است) نوشته شده که تلفظ فرانسوی surjection که تلفظ انگلیسی‌اش «سورجکشن» است آمده‌است. آقای رسولیان تحصیل کردهٔ آمریکا هستند (https://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=64579) احتمالا دلیل این استفاده از برگردان فرانسوی در متن‌شان با توجه به اینکه چاپ نخست کتاب در سال ۱۳۶۸ صورت گرفته‌است تأثیر نحوهٔ صحبت ریاضیدان‌های اسبق ایشان در دانشگاه‌های ایران که تحصیل‌کردهٔ فرانسه یا استادی داشته‌اند که تحصیل‌کردهٔ فرانسه بوده‌است باشد. ولی به هر حال اکنون بسیاری از عبارات ریاضی واژهٔ فارسی دارند و حتی در ویکی‌پدیای فارسی نیز از فارسیِ آنها استفاده می‌شود مانند (https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D8%AF%D9%88%D8%B3%D9%88%DB%8C%DB%8C).
به هر حال باز هم ممنون که اشاره کردید، صبح که ترجمهٔ آقای رسولیان را نگاه می‌کردم سریع فصل‌های آغازین را یک نگاه کوتاه انداختم و متوجه وجود برگردان‌های فرانسوی در نوشته‌شان نشده‌بودم.

1 پاسخ

+3 امتیاز
توسط kazomano (2,384 امتیاز)
ویرایش شده توسط kazomano
 
بهترین پاسخ

فرض کنیم $\chi$ مجموعه تمام زوج های مرتب $(A_\alpha,f_\alpha)$ به طوری که $A_\alpha$ ها زیرمجموعه های حداقل1 دو عضوی $A$ باشند و $f_\alpha:A_\alpha \rightarrow A_\alpha$ دوسویی بدون نقطه ثابت باشد. رابطه $ \preceq $ را روی $\chi$ به صورت زیر تعریف می کنیم $$(A_\alpha,f_\alpha) \preceq (A_\beta,f_\beta) \Leftrightarrow A_\alpha \subseteq A_\beta, f_\alpha \subseteq f_\beta$$

این یک رابطه ترتیب جزئی روی $\chi$ می باشد. زیر مجموعه مرتب کامل دلخواهی از $\chi$ مانند $ \Sigma =\{(A_\gamma,f_\gamma)|\gamma \in \Gamma \}$ رو در نظر می گیریم. میشه بررسی کرد که $ (\bigcup_{\gamma \in \Gamma} A_\gamma,\bigcup_{\gamma \in \Gamma} f_\gamma)$ کران بالای $ \Sigma $. پس طبق لم زورن $ \Sigma $ دارای عنصر ماکسیمال است که آن را با $( \overline{A}, \overline{f}) $ نشان می دهیم. دو حالت ممکن است رخ دهد

1- اگر $A= \overline{A} $ آن گاه $ \overline{f} :A \rightarrow A$ یک تابع دو سویی بدون نقطه ثابت است و اثبات تمام است.

2- اگر $A\ne \overline{A} $ آن گاه $ \overline{A} $ فقط یک عنصر از $A$ را پوشش نمی دهد چرا اگر مثلا $ \overline{A} \subseteq A-\{a,b\}$ 2آن گاه با تعریف تابع $ \widetilde{f}: \overline{A} \bigcup \{a,b\}\rightarrow \overline{A} \bigcup \{a,b\}$ با ضابطه به ازای هر $x\in \overline{A} $، $ \widetilde{f}(x)= \overline{f} (x) $ و $ \widetilde{f} (a)=b, \widetilde{f}(b) =a$ تابعی دوسویی به دست می آوریم که نقطه ثابت ندارد. ولی این با ماکسیمال بودن $ ( \overline{A}, \overline{f}) $ در تناقض است. پس $ \overline{A} =A-\{a\}$. یک عنصر $y$ در $ \overline{A} $ اختیار می کنیم و $f:A\rightarrow A$ به صورت زیر تعریف می کنیم $$ \begin{equation} f(x)= \begin{cases} \overline{f} (x) \hspace{0.8cm} if \hspace{0.4cm} x\ne a,y\\ y \hspace{1.5cm} if \hspace{0.4cm} x=a\\ a \hspace{1.5cm} if \hspace{0.4cm} x=y \end{cases} \end{equation} $$ در این صورت $f$ دوسویی است و نقطه ثابت ندارد. این اثبات را کامل می کند.


  1. بعد از دیدگاه @AmirHosein کلمه حداقل اضافه شد. ↩︎

  2. بعد از دیدگاه @AmirHosein به جای $ \overline{A} =A-\{a,b\}$ قرار داده شد. ↩︎

توسط AmirHosein (10,288 امتیاز)
نمایش از نو توسط AmirHosein
+1
@kazomano اگر $A_1$ و $A_2$ دو مجموعهٔ دوعضوی باشند (یا در کل دو مجموعه با عدداصلی متناهی و برابر) و داشته‌باشیم $A_1\subseteq A_2$، آنگاه این دو مجموعه مساوی نیستند؟ همین‌طور دو تابعِ $f_1$ و $f_2$ که روی آنها در نظر گرفته‌اید به عنوان یک زیرمجموعه از حاصلضرب دکارتی دامنه و هم‌دامنه‌شان، دو مجموعهٔ دوعضوی می‌شوند، دوباره از اینکه یکی‌شان زیرمجموعهٔ دیگری می‌شود تساوی‌شان را نمی‌گیریم؟ شاید نکته‌ای را از قلم انداخته‌ام ولی اگر اشتباه نکنم رابطهٔ $\preceq$ که تعریف کرده‌اید رابطهٔ تساوی می‌شود.
توسط AmirHosein (10,288 امتیاز)
نمایش از نو توسط AmirHosein
+1
@kazomano بلی، فکر کنم مشکلی در دیدگاهم نباشد. اشتباهی که در نوشته‌تان است گذاشتن شرطِ «دوعضوی بودن» روی $A_i$ها است. در واقع فکر کنم منظورتان «زیرمجموعه‌های با **حداقل** دو عضو از $A$» بوده‌است که واژهٔ «حداقل» را جا انداخته‌اید. چون به غیر از تساوی‌شدن رابطهٔ $\preceq$ با این مطلب که $\cup_{i\in\Gamma}A_i$ ها قرار است دوباره در شرط صدق کند به مشکل برمی‌خورید چون اجتماع تعداد دلخواهی مجموعهٔ دوعضوی امکان دارد که اکیدا بیشتر از دو عضو داشته‌باشد. غیر از این در مورد شمارهٔ ۲ آخر اثبات $\bar{A}=A-\lbrace a,b\rbrace$ باید به $\bar{A}\subseteq\ A-\lbrace a,b\rbrace$ تبدیل شود. در این صورت اثبات شما کامل می‌شود. در غیر اینصورت فردی ممکن است بپرسد وقتی که تفاوت $\bar{A}$ و $A$ بیشتر از یک عضو است، چرا فقط حالت تفاوت در دو عضو را بررسی کرده‌اید؟ در حالیکه همین جمله‌ای که نوشته‌اید، از ابتدای شمارهٔ ۲ تا اولین نقطه‌ای که تایپ کرده‌اید دقیقا برای حالت بیشتر از ۲ نقطه اختلاف را هم به تناقض می‌رساند. مثلا اگر ۳ عضو تفاوت دارند، اولا که تساوی با $A$ منهای دو عضو برقرار نیست ولی زیرمجموعه بودن برقرار است و دوما شما فقط کافیست دو عضو که در $\bar{A}$ نیستند، را داشته باشید و آنها را $a$ و $b$ بنامید و عضو بزرگتر که تناقض را بسازد ایجاد کنید.
پس فکر کنم با افزودن واژهٔ «حداقل» در تعریف $A_i$ها و تغییر تساوی به زیرمجموعه بودن در ابتدای شمارهٔ ۲، اثبات‌تان درست است. ^_^
توسط kazomano (2,384 امتیاز)
نمایش از نو توسط kazomano
+1
@AmirHosein  
کاملا درست میگید این دو تا ایراد تو راه حل وجود داره. ممنون به خاطر وقتی که گذاشتید.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...