فرض کنیم \chi مجموعه تمام زوج های مرتب (A_\alpha,f_\alpha) به طوری که A_\alpha ها زیرمجموعه های حداقل دو عضوی A باشند و f_\alpha:A_\alpha \rightarrow A_\alpha دوسویی بدون نقطه ثابت باشد. رابطه \preceq را روی \chi به صورت زیر تعریف می کنیم
(A_\alpha,f_\alpha) \preceq (A_\beta,f_\beta) \Leftrightarrow A_\alpha \subseteq A_\beta, f_\alpha \subseteq f_\beta
این یک رابطه ترتیب جزئی روی \chi می باشد. زیر مجموعه مرتب کامل دلخواهی از \chi مانند \Sigma =\{(A_\gamma,f_\gamma)|\gamma \in \Gamma \} رو در نظر می گیریم. میشه بررسی کرد که (\bigcup_{\gamma \in \Gamma} A_\gamma,\bigcup_{\gamma \in \Gamma} f_\gamma) کران بالای \Sigma . پس طبق لم زورن \Sigma دارای عنصر ماکسیمال است که آن را با ( \overline{A}, \overline{f}) نشان می دهیم. دو حالت ممکن است رخ دهد
1- اگر A= \overline{A} آن گاه \overline{f} :A \rightarrow A یک تابع دو سویی بدون نقطه ثابت است و اثبات تمام است.
2- اگر A\ne \overline{A} آن گاه \overline{A} فقط یک عنصر از A را پوشش نمی دهد چرا اگر مثلا \overline{A} \subseteq A-\{a,b\} آن گاه با تعریف تابع \widetilde{f}: \overline{A} \bigcup \{a,b\}\rightarrow \overline{A} \bigcup \{a,b\} با ضابطه به ازای هر x\in \overline{A} ، \widetilde{f}(x)= \overline{f} (x) و \widetilde{f} (a)=b, \widetilde{f}(b) =a تابعی دوسویی به دست می آوریم که نقطه ثابت ندارد. ولی این با ماکسیمال بودن ( \overline{A}, \overline{f}) در تناقض است. پس \overline{A} =A-\{a\}. یک عنصر y در \overline{A} اختیار می کنیم و f:A\rightarrow A به صورت زیر تعریف می کنیم
\begin{equation}
f(x)=
\begin{cases}
\overline{f} (x) \hspace{0.8cm} if \hspace{0.4cm} x\ne a,y\\
y \hspace{1.5cm} if \hspace{0.4cm} x=a\\
a \hspace{1.5cm} if \hspace{0.4cm} x=y
\end{cases}
\end{equation}
در این صورت f دوسویی است و نقطه ثابت ندارد. این اثبات را کامل می کند.
