فرض کنیم $\chi$ مجموعه تمام زوج های مرتب $(A_\alpha,f_\alpha)$ به طوری که $A_\alpha$ ها زیرمجموعه های حداقل دو عضوی $A$ باشند و $f_\alpha:A_\alpha \rightarrow A_\alpha$ دوسویی بدون نقطه ثابت باشد. رابطه $ \preceq $ را روی $\chi$ به صورت زیر تعریف می کنیم
$$(A_\alpha,f_\alpha) \preceq (A_\beta,f_\beta) \Leftrightarrow A_\alpha \subseteq A_\beta, f_\alpha \subseteq f_\beta$$
این یک رابطه ترتیب جزئی روی $\chi$ می باشد. زیر مجموعه مرتب کامل دلخواهی از $\chi$ مانند $ \Sigma =\{(A_\gamma,f_\gamma)|\gamma \in \Gamma \}$ رو در نظر می گیریم. میشه بررسی کرد که $ (\bigcup_{\gamma \in \Gamma} A_\gamma,\bigcup_{\gamma \in \Gamma} f_\gamma)$ کران بالای $ \Sigma $. پس طبق لم زورن $ \Sigma $ دارای عنصر ماکسیمال است که آن را با $( \overline{A}, \overline{f}) $ نشان می دهیم. دو حالت ممکن است رخ دهد
1- اگر $A= \overline{A} $ آن گاه $ \overline{f} :A \rightarrow A$ یک تابع دو سویی بدون نقطه ثابت است و اثبات تمام است.
2- اگر $A\ne \overline{A} $ آن گاه $ \overline{A} $ فقط یک عنصر از $A$ را پوشش نمی دهد چرا اگر مثلا $ \overline{A} \subseteq A-\{a,b\}$ آن گاه با تعریف تابع $ \widetilde{f}: \overline{A} \bigcup \{a,b\}\rightarrow \overline{A} \bigcup \{a,b\}$ با ضابطه به ازای هر $x\in \overline{A} $، $ \widetilde{f}(x)= \overline{f} (x) $ و $ \widetilde{f} (a)=b, \widetilde{f}(b) =a$ تابعی دوسویی به دست می آوریم که نقطه ثابت ندارد. ولی این با ماکسیمال بودن $ ( \overline{A}, \overline{f}) $ در تناقض است. پس $ \overline{A} =A-\{a\}$. یک عنصر $y$ در $ \overline{A} $ اختیار می کنیم و $f:A\rightarrow A$ به صورت زیر تعریف می کنیم
$$ \begin{equation}
f(x)=
\begin{cases}
\overline{f} (x) \hspace{0.8cm} if \hspace{0.4cm} x\ne a,y\\
y \hspace{1.5cm} if \hspace{0.4cm} x=a\\
a \hspace{1.5cm} if \hspace{0.4cm} x=y
\end{cases}
\end{equation} $$
در این صورت $f$ دوسویی است و نقطه ثابت ندارد. این اثبات را کامل می کند.
