حلکردن خیلی از پرسشها شاخِ قول شکستن نیست. کافی است تعریفها را مانند جملههای فارسیِ معمولی بخوانیم و شروع به چک کردنشان کنیم.
پرسش چیست؟ یک حلقه داریم. نام آن را $R$ بگذاریم. این حلقه جابجایی است. یعنی برای هر $x,y\in R$ داریم $xy=yx$. بعلاوه سرشتنمای این حلقه $p$ است که $p$ عددی اول است. پس $p$ صفر نیست. سرشتنمای $R$ برابر با $p$ است یعنی چه؟ یعنی برای هر $x\in R$ داریم $\underset{\text{بار }p}{\underbrace{x+x+\dots+x}}$ برابر با عضو همانیِ جمعیِ $R$ میشود که بیایید با همان ۰ نمایش دهیم. و جمعِ $p$ بار از $x$ با خودش را بیایید با $px$ نمایش دهید و توجه کنید که $p$ عضوی از $R$ نیست و در نتیجه منظور از $px$ ضربِ حلقهایِ $R$ بین $p$ و $x$ نمیشود. تا اینجا فرضهای پیرامون $R$ بودند. زمانی که جملهٔ نخست یعنی «اگر سرشتنمای حلقهٔ جابجاییِ $R$ برابر با $p$ باشد» را میخوانید باید این مطالب سریع به ذهنتان بیایند و گر نه یعنی دستکم یکی از تعریفهای حلقه، حلقهٔ جابجایی، سرشتنمای حلقه را یا نخواندهاید، یا توجه نکردید، یا یاد نگرفتهاید. که در اینصورت باید نخست به سراغ خواندن و یادگیری این تعریفها بروید نه ارسال تمرین. خب فرض میکنیم تعریفها را میدانید یا مرور کردید و برگشتید. اکنون پرسش یک نگاشت تعریف میکند.
$$\begin{cases}
f & \colon & R &\rightarrow & R\\
& & x &\mapsto & x^p
\end{cases}$$
تا اینجا این یک نگاشت است. حکم چیست؟ ثابت کنیم که یک خودریختی است. خودریختی چه بود؟ خودریختیِ حلقهای یک همریختیِ حلقهای از یک حلقه به خودش است. همریختیِ حلقهای چه بود؟ یک تابع از یک حلقه به یک حلقهٔ دیگر بود که اثرش بر روی جمع و ضرب دو عضو از دامنه برابر با جمع و ضرب اثرش بر روی آن دو عضو میشد. توجه کنید که جمع و ضرب نخست، جمع و ضرب حلقهٔ دامنه است و جمع و ضرب دوم، جمع و ضرب حلقهٔ همدامنه است. پس بیایید ویژگیهایی که باید اثبات کنیم را فهرست کنیم.
- نگاشت $f$ یک تابع از $R$ به $R$ است.
- برای هر دو عضو $x,y\in R$ داریم $f(x+y)=f(x)+f(y)$.
- برای هر دو عضو $x,y\in R$ داریم $f(xy)=f(x)f(y)$.
توجه کنید که برای هر $x\in R$ روشن است که $x^p\in R$، چون $R$ با عمل جمع و ضربش حلقه است و در نتیجه نسبت به عمل ضربش بسته است پس اگر $x\in R$ آنگاه $xx\in R$ و همینطور برای هر $n\in \mathbb{N}$ داریم $x^n\in R$. پس برای $x\in R$ چون $x^p\in R$ داریم $f(x)\in R$ و در نتیجه $f$ خوشتعریف است یعنی واقعا همدامنهاش $R$ است.
بفرض $x_1,x_2\in R$ و $x_1=x_2$، باید نشان دهیم که $f(x_1)=f(x_2)$. که یعنی $x_1^p=x_2^p$. به یاد آورید که عملهای جمع و ضرب حلقه، عملهای دوتایی هستند یعنی تابعهایی از $R\times R\to R$ هستند. توجه کنید که گفتیم «تابع» هستند! پس اگر $(a,b),(c,d)\in R\times R$ و $(a,b)=(c,d)$ آنگاه داریم $ab=cd$. مگر نگفتیم $x_1=x_2$؟ پس داریم $(x_1,x_1)=(x_2,x_2)$ و در نتیجه باید $x_1x_1=x_2x_2$ که یعنی $x_1^2=x_2^2$. اکنون $(x_1^2,x_1)=(x_2^2,x_2)$ را در نظر بگیرید، به $x_1^3=x_2^3$ میرسید. با یک استقرای ریاضی برای هر $n\in\mathbb{N}$ خواهید داشت $x_1^n=x_2^n$. به ویژه برای $n=p$. پس تابع بودن $f$ کامل شد.
فرض کنید یک قسمت از پرسش را نمیتوانید حل کنید، برای نمونه مورد ۲، این دلیل نمیشود که کل پرسش را رها کنید. برای نمونه قسمت ۱ را میتوانستید انجام دهید یا اینکه الزامی ندارد مطابق ترتیب خاصی جلو بروید. ۲ را نمیدانید، اشکالی ندارد، ۳ را امتحان کنید. اما بدون دست به قلم شدن نگوئید نمیدانم! ۲ چه میگوید؟ دو عضو $x$ و $y$ از $R$ برداشتهایم. میخواهیم نشان دهیم که $f(x+y)=f(x)+f(y)$. دست کم میتوانید معنای این رابطه را بنویسید، نه؟
$$f(x+y)=f(x)+f(y)\;\equiv\;(x+y)^p=x^p+y^p$$
سمت چپ برابری چیست؟ $(x+y)^p$، اگر بخواهید بازش کنید چه مینویسید؟
$$(x+y)^p=x^p+\binom{p}{1}x^{p-1}y+\binom{p}{2}x^{p-2}y^2+\dots+\binom{p}{p-1}xy^{p-1}+y^p$$
نه؟ اگر هم گُسترش (بسط) خیام یادتان نیست، میتوانید برای توان ۲ و ۳ و ... را امتحان کنید تا یادتان بیاید یا حداقل برای حالت خاص مثلا $p=2$ و $p=3$ را فقط بنویسید، نه؟ به هر حال، تنها نکتهای که اینجا باید به ذهنتان برسد و فقط تعریف خالی نیست این است که قبلا توجه کردهباشید یا با چند حالت را امتحان کردن به این نکته پِی ببرید که
$$\forall i\in\lbrace 1,2,\dots,p-1\rbrace\;\colon\;p\mid\binom{p}{i}$$
چرا؟ چون $\binom{p}{i}=\frac{p!}{i!(p-i)!}$ و عدد $p$ای که در بازشدهٔ ضرب صورت است تنها زمانی خط میخورد که $i=p$ یا $i=0$. این کاری به اول بودنِ $p$ هم ندارد. اما چرا باید این نکته مهم باشد؟ چون $px=0$ و به طبع اگر $k$ یک عدد طبیعی دیگر باشد داریم $(kp)x=k(px)=k(0)=0$. پس نه تنها $px=0$ بلکه هر مضربی از $p$ را که بردارید و $x$ را به آن تعداد بار با خودش جمع کنید نیز به صفر حلقه میرسید. پس
\begin{align}
f(x+y) &= (x+y)^p\\
&= x^p+\sum_{i=1}^{p-1}\binom{p}{i}x^{p-i}y^i+y^p\\
&= x^p+\sum_{i=1}^{p-1}0+y^p\\
&= x^p+y^p\\
&= f(x)+f(y)
\end{align}
دیدید دست به قلم شدن و فکر کردن و نوشتن چند حالت خاص میتواند چه بکند؟ گزینهٔ آخر هم که دیگر سادهتر از گزینهٔ ۲ است. باید نشان دهیم $f(xy)=f(x)f(y)$. که برابر است با نشان دادن اینکه $(xy)^p=x^py^p$ بیایید آن را باز کنیم.
$$xyxy\cdots xy=xx\cdots xyy\cdots y$$
چه چیزی در برابری بالا مشکل ما است؟ در هر دو سمت $p$تا $x$ و $p$تا $y$ داریم ولی ترتیبِ آنها در ضرب یکسان نیست. مهم است؟ اگر حلقهٔ دلخواه میداشتیم بله ولی مگر پرسش نگفته است «حلقهٔ جابجایی»؟ پس حق جابجا کردن عنصرها در ضرب را داریم یعنی تنها به خاطر جابجایی بودن حلقه عبارت سمت چپ بالا برابر با عبارت سمت راست بالا است.
