Question

ثابت کنید که مجموعهٔ متشکل از صفر و مقسوم‌علیه‌های صفر در یک حلقهٔ جابجایی و یکدار، شامل حداقل یک ایده‌آل اول است.

Answer 1

بفرض $R$ یک حلقهٔ جابجایی باشد. یک شمارندهٔ صفر اینگونه تعریف می‌شود: «عنصر $r$ از $R$ یک شمارندهٔ صفر است هر گاه عنصر ناصفری از $R$ مانند $s$ موجود باشد که $rs=0$.» آشکارا عنصر $0$-ِ حلقه خودش در این شرط صدق می‌کند و در نتیجه یک شمارندهٔ صفر است. اکنون مجموعهٔ همهٔ شمارنده‌های صفرِ $R$ را با $Z$ نمایش دهید، پس داریم؛

$$\lbrace 0\rbrace\subseteq Z=\lbrace r\in R\mid \exists s\in R-\lbrace 0\rbrace\text{ s.t. }rs=0\rbrace$$

گردایهٔ $\mathcal{M}$ را به شکل زیر تعریف کنید.

$$\mathcal{M}=\lbrace I\unlhd R\mid I\subseteq Z\rbrace$$

توجه کنید که مجموعهٔ ایده‌آل‌های $R$ به همراه رابطهٔ زیرمجموعه‌بودن یک مجموعهٔ مرتب جزئی است و هر زنجیر از آن از بالا به خود $R$ کراندار است. اکنون چون $\lbrace 0\rbrace\in\mathcal{M}$ (توجه کنید که تک‌عضوی صفر یک ایده‌آل است و همین‌طور به استفاده از عضو‌بودن یا زیرمجموعه‌بودن توجه کنید!) بنا به لم زُرن، این گردایه باید دست‌کم یک عضو بیشینه (ماکسیمال) داشته‌باشد. یک عضو بیشینه را به دلخواه بردارید و $M$ بنامید ($M$ با $\mathcal{M}$ فرق دارد). به خاطر عضوِ $\mathcal{M}$ بودن، هم ایده‌آل است و هم زیرمجموعهٔ $Z$ است. تنها مانده‌است که اول هم باشد تا یک نمونه از شیءای شود که به دنبالش هستیم. دو عضو دلخواه از حلقه مانند $a$ و $b$ بردارید. فرض کنید حاصلضربشان داخل $M$ افتاده باشد. پس به دنبالش این حاصلضرب حتما شمارندهٔ صفر نیز است. در نتیجه عنصری ناصفر از $R$ مانند $s$ یافت می‌شود که $(ab)s=0$. اما توجه کنید که حلقه نسبت به عمل ضرب شرکت‌پذیری دارد پس $a(bs)=0$. اکنون دو حالت داریم؛ یا $bs=0$ یا $bs\neq 0$. اگر $bs=0$ برقرار باشد که چون $s\neq 0$ پس $b\in Z$. اگر $bs\neq 0$ آنگاه $a\in Z$. در هر صورت عضوی که شمارندهٔ صفر شد را در نظر بگیرید، اگر متعلق به $M$ نباشد، آنگاه با ایده‌آل ساخته‌شده بوسیلهٔ آن عضو و $M$ یک عضو دیگر از $\mathcal{M}$ خواهد شد که اکیدا از $M$ بزرگتر است که تناقض با انتخاب $M$ دارد. در نتیجه این عضو باید به $M$ متعلق باشد. پس $M$ اول هم شد.