به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
395 بازدید
در دانشگاه توسط Zaton (0 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

تعریف حلقهٔ بولی را به یاد آورید.

حلقهٔ بولی
حلقهٔ $R$ را یک حلقهٔ بولی گوئیم هر گاه برای هر عضو $a\in R$ داشته‌باشیم $a^2=a$.
  1. نمونه‌ای از یک حلقهٔ بولی بیاورید.
  2. بفرض $R$ یک حلقهٔ بولی باشد. ثابت کنید برای هر $a\in R$ داریم $a+a=0$.
  3. ثابت کنید یک حلقهٔ بولی، یک حلقهٔ جابجایی نیز است.
توسط AmirHosein (18,522 امتیاز)
@Zaton به ویرایشی که بر روی پرسش‌تان انجام دادم نگاه کنید و با نحوهٔ پرسش پرسیدن قبل‌تان مقایسه کنید.
۱- عنوان با برچسب فرق دارد. در عنوان آنچه در پرسش پرسیده می‌شود را خلاصه می‌گوئید. برای انتخاب موضوع از برچسب استفاده می‌شود. بنابراین در عنوان ننویسید «جبر و حلقه». عنوان نباید کلی باشد.
۲- در یک پرسش یک سوال بپرسید، این پرسش ۳ سوال دارد! فکر نمی‌کنید بهتر است ابتدا قسمت اول را بپرسید، و بعد از اینکه یک قسمت را یاد گرفتید، برای قسمت دیگر خودتان فکر کنید و تلاش کنید و اگر موفق نشدید قسمت جدید را در پرسش جدید بپرسید؟
۳- همیشه به تلاش و فکری که قبلا کردید اشاره کنید یا حداقل بگوئید که چه چیزی را نفهمیده‌اید یا ابهام دارید. نیت یادگیری است و نه کپی-پیست کردن پاسخ و رفع تکلیف.
صفحهٔ راهنمای سایت نیز می‌تواند کمک‌تان کنید  https://math.irancircle.com/faq

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط AmirHosein (18,522 امتیاز)

زمانی که از شما، نمونه‌ای از فلان مفهوم با یک سری ویژگی می‌خواهند، کمترین تلاشی که می‌توانید انجام دهید این است که مثال‌هایی که از آن مفهوم در درس یا منبع معرفی‌تان شده‌است را نگاه کنید که آیا ویژگی‌ِ خواسته‌شده را دارند یا خیر. شما $\overline{\mathbb{Z}}_2$ را اصلا نگاه کردید؟ دو عضو دارد $\bar{0}$ و $\bar{1}$. به نظرتان در ویژگیِ خودتوان بودن صدق نمی‌کنند؟

به فرض $R$ یک حلقه باشد که هر عضوش خودتوان است یعنی $a^2=a$. اکنون یک عضو دلخواه از آن بردارید، $a$. می‌خواهید نشان دهید که $a+a=0$. تنها چیزی که دارید این است که توان دوی هر چیزی خودش می‌شود. خب $a+a$ هم عضوی از خودش می‌شود، پس توان دوی آن را نگاه کنیم. فوقش به چیز مفیدی نمی‌رسیم و تلاش دیگری می‌کنیم.

$$a+a=(a+a)^2=a(a+a)+a(a+a)=a^2+a^2+a^2+a^2=a+a+a+a$$

مگر حلقه با عمل جمعش یک گروه نیست؟ مگر گروه عضو قرینه ندارد؟ پس می‌توانیم دو طرفِ رابطهٔ $a+a=a+a+a+a$ را دو بار با قرینهٔ جمعیِ $a$ جمع کنیم. آنگاه داریم $0=a+a$.

چرا $R$ یک حلقهٔ جابجایی نیز می‌شود؟ جابجایی شدن یعنی چه؟ $xy=yx$، نه؟ دوباره تنها چیزی که داریم توان دو است که می‌دانیم چه می‌شود، یک توان دویی در نظر بگیریم که هر دوی $xy$ و $yx$ در آن ظاهر شود. نظرتان با $x+y$ چطور است؟

$$x+y=(x+y)^2=x(x+y)+y(x+y)=x^2+xy+yx+y^2=x+xy+yx+y$$

دوباره دو طرف رابطهٔ $x+y=x+xy+yx+y$ را با عضوهای قرینهٔ جمعیِ $x$ و $y$ جمع کنید. داریم $0=xy+yx$ پس $yx$ عضو قرینهٔ جمعیِ $xy$ است ولی از چیزی که پیش از این اثبات کردیم به یاد بیاورید که عضو قرینهٔ جمعیِ هر عضوی خودش است ($a+a=0$) و به یاد آورید که عضو قرینه در گروه یکتاست پس $yx$ باید با خود $xy$ یکی باشد.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...