زمانی که از شما، نمونهای از فلان مفهوم با یک سری ویژگی میخواهند، کمترین تلاشی که میتوانید انجام دهید این است که مثالهایی که از آن مفهوم در درس یا منبع معرفیتان شدهاست را نگاه کنید که آیا ویژگیِ خواستهشده را دارند یا خیر. شما $\overline{\mathbb{Z}}_2$ را اصلا نگاه کردید؟ دو عضو دارد $\bar{0}$ و $\bar{1}$. به نظرتان در ویژگیِ خودتوان بودن صدق نمیکنند؟
به فرض $R$ یک حلقه باشد که هر عضوش خودتوان است یعنی $a^2=a$. اکنون یک عضو دلخواه از آن بردارید، $a$. میخواهید نشان دهید که $a+a=0$. تنها چیزی که دارید این است که توان دوی هر چیزی خودش میشود. خب $a+a$ هم عضوی از خودش میشود، پس توان دوی آن را نگاه کنیم. فوقش به چیز مفیدی نمیرسیم و تلاش دیگری میکنیم.
$$a+a=(a+a)^2=a(a+a)+a(a+a)=a^2+a^2+a^2+a^2=a+a+a+a$$
مگر حلقه با عمل جمعش یک گروه نیست؟ مگر گروه عضو قرینه ندارد؟ پس میتوانیم دو طرفِ رابطهٔ $a+a=a+a+a+a$ را دو بار با قرینهٔ جمعیِ $a$ جمع کنیم. آنگاه داریم $0=a+a$.
چرا $R$ یک حلقهٔ جابجایی نیز میشود؟ جابجایی شدن یعنی چه؟ $xy=yx$، نه؟ دوباره تنها چیزی که داریم توان دو است که میدانیم چه میشود، یک توان دویی در نظر بگیریم که هر دوی $xy$ و $yx$ در آن ظاهر شود. نظرتان با $x+y$ چطور است؟
$$x+y=(x+y)^2=x(x+y)+y(x+y)=x^2+xy+yx+y^2=x+xy+yx+y$$
دوباره دو طرف رابطهٔ $x+y=x+xy+yx+y$ را با عضوهای قرینهٔ جمعیِ $x$ و $y$ جمع کنید. داریم $0=xy+yx$ پس $yx$ عضو قرینهٔ جمعیِ $xy$ است ولی از چیزی که پیش از این اثبات کردیم به یاد بیاورید که عضو قرینهٔ جمعیِ هر عضوی خودش است ($a+a=0$) و به یاد آورید که عضو قرینه در گروه یکتاست پس $yx$ باید با خود $xy$ یکی باشد.
