آیا از $C\subseteq A\cup B$ می توان نتیجه گرفت که $C$ زیرمجموعهٔ دست کم یکی از $A$ یا $B$ است؟

Question

گزاره‌ٔ زیر را در نظر بگیرید:

$$C \subseteq A \cup B$$

که به نظر من معادل است با:

\begin{align} (x \in C \Rightarrow x \in A \cup B) &\equiv (x \in C \Rightarrow x \in A \vee x \in B)\\ & \equiv (x \in C \Rightarrow x \in A) \vee (x \in C \Rightarrow x \in B)\\ & \equiv C \subseteq A \vee C \subseteq B \end{align}

که منجر به استنباط گزاره زیر می‌شود:

$$C \subseteq A \cup B \ \Leftrightarrow C \subseteq A \vee C \subseteq B$$

ولی ما برای بخش رفت این گزاره مثال نقض داریم؛ برای مثال:

$$A= \{1,2\},B= \{3,4\},C= \{2,3\} $$ و می‌دانیم که $C \subseteq A \cup B$، ولی مجموعهٔ $C$ به طور جداگانه زیرمجموعه $A$ و $B$ نیست.

می‌توانید بگویید اشکال در کجای کار است؟

Answer 1

درست است که داریم

$$p\Rightarrow(q\vee r)\;\equiv\;(p\Rightarrow q)\vee (p\Rightarrow r)$$

به سخنی دیگر، «نتیجه گرفتن نسبت به یا پخش‌پذیر است»، ولی اثبات ساده‌ای که برای رابطهٔ بالا می‌نویسید خالی از سورها از جمله سور عمومی است. زمانی که سورها درگیر می‌شوند، نمی‌توانید از اثباتِ حالتِ بدونِ سور، بگوئید که حالتِ با سور هم ثابت شده‌است. برای رابطه‌های مشابه زمانی که سورها نیز درگیر هستند می‌توانید به فهرستی که در پاسخ آمده در پست زیر در سایت math.stackexchange نگاه بیندازید. همان گونه که می‌بینید نتیجه گرفتن به «وَ» زمانی که سورِ عمومی درگیر است پخش‌پذیر است ولی نسبت به «یا» پخش‌پذیر نیست و به جای هم‌ارزی، تنها نتیجه‌گیریِ یک طرفه خواهید داشت. یعنی

$$\forall x\in U\colon \Big(p(x)\Rightarrow(q(x)\wedge r(x))\Big)\;\equiv\;(\forall x\in U\colon p(x)\Rightarrow q(x))\wedge (\forall x\in U\colon p(x)\Rightarrow r(x))$$

ولی

$$\forall x\in U\colon \Big(p(x)\Rightarrow(q(x)\vee r(x))\Big)\;\Longleftarrow\;(\forall x\in U\colon p(x)\Rightarrow q(x))\vee (\forall x\in U\colon p(x)\Rightarrow r(x))$$

این نکته‌ای است که @Elyas1 نیز در پاسخ‌شان اشاره دارند. فهرستی از رابطه‌ها زمانی که سورهای عمومی و وجودی نیز درگیر هستند:

https://math.stackexchange.com/a/3059525/48533

اما چرا به سمتِ راستِ رابطهٔ بالا برقرار نیست؟ چون شما می‌گوئید برای هر عضو U اگر p برقرار باشد، آنگاه q یا r برقرار است. نه؟ سمت چپ را برقرار فرض کنیم. خب برای نمونه ممکن است برای عضو نخست از U که p برقرار است، فقط q برقرار باشد و برای عضو دوم با همان ویژگی‌ها فقط r برقرار باشد. پس در این حالت نمی‌توان نتیجه گرفت که برای همهٔ عضوهای U که p برقرار است دقیقا یکی از q یا r را می‌توان یافت که برقرار باشد. این چیزی هست که سمت راست می‌بینیم.

و این تناقضی با برقراری رابطه به سمت راست بدون سور عمومی ندارد، چون بدون سور عمومی مانند این است که پیرامون یک شیء صحبت می‌کنید و نه دسته‌ای از شی‌ءها.

Answer 2

گوییم که $A \subseteq B$ اگر و تنها اگر:

$(\forall x) (x \in A \Longrightarrow x\in B)$

در خط سومتان با گزاره زیر رو به رو هستید:

$ (\forall x) [(x \in C \Longrightarrow x \in A) \vee (x \in C \Longrightarrow x \in B)]$

این گزاره هم ارز گزاره زیر نیست:

$(\forall x) (x \in C \Longrightarrow x \in A) \vee (\forall x) (x \in C \Longrightarrow x \in B) \equiv ( C \subseteq A ) \vee (C \subseteq B)$

Answer 3

پاسخ رو بصورت تشریحی اینطور میشه استنباط کرد: اینکه C و B و A اعضای مشترکی داشته باشند، و در عین حال C زیر مجموعه این اشتراک باشد، دلیل بر آن نیست که ما C را زیر مجموعه A و B بشمریم، C متواند اعضایی مشترک با B داشته و اعضایی هم نه، همینطور است با A. پس C میتواند(درصورت اینکه اعضایش مثلا نیمی به A و نیمی به B تعلق داشته باشند) زیرمجموعه اجتماع A و B باشد و در عین حال زیر مجموعه هیچیک از آنها به تنهایی نباشد(مثلا فقط نیم اشتراک دارد)، پس معادل قرار دادن این دوگزاره باعث نتیجه اشتباه آن میشود که اعضای دو مجموعه اجتماع و زیر مجموعگی را یکی فرض کنیم!