اگر مجموعهٔ $B$ عضوی از مجموعهٔ $A$ باشد، آنگاه آیا عضوهای $B$، عضوِ $A$ نیز هستند؟ آیا می توان گفت $B$ زیرمجموعهٔ $A$ است؟

Question

تعريف مجموعه را اینگونه برایم گفته‌اند:

دسته‌ای از اشيای مشخص كه دو به دو با هم متمايز هستند.

پس هر چيزی می‌تواند برای عضو بودن در یک مجموعه انتخاب شود. همینطور یک مجموعه ديگر نیز می‌تواند عضو یک مجموعه باشد. حالا پرسشی که من دارم این است:

مجموعهٔ $A=\lbrace a,b,c,\lbrace 1,2,3\rbrace\rbrace$ را در نظر بگيريد. اين مجموعه چهار عضو دارد: $a$ و $b$ و $c$ و $\lbrace 1,2,3\rbrace$. عضو آخر که یک مجموعه نیز است را با $B$ نام‌گذاری می‌کنیم. آيا می‌توانيم بگوييم که ۱ و ۲ و ۳ عضو مجموعهٔ $A$ نیز هستند؟ آيا می‌توانيم بگوييم که مجموعهٔ $B$ زيرمجموعهٔ $A$ است؟

Answer 1

همونطور که خودتون گفتید مجموعه داده شده فقط چهار عضو دارد $a, b, c, \lbrace 1,2,3\rbrace$ . پس $1,2,3$ اعضای این مجموعه نیستند.

نمیتونیم بگیم $B=\lbrace 1,2,3\rbrace$ زیر مجموعه ی $A$ است. در واقع $B$ یک عضو از مجموعه $A$ است. همانطور که $a$ عضوی از $A$ است و نمیتوان گفت $a$ زیرمجموعه $A$ است .

بنابرتعریف $X\subset Y$ هر گاه هر عضو $X$ عضوی از $Y$ باشد.

در اینجا هم $\lbrace a\rbrace \subset A$ چرا که هر عضو $\lbrace a\rbrace$ عضوی از $A$ است.

و به طور مشابه $\lbrace \lbrace 1,2,3\rbrace\rbrace$ هم زیر مجموعه ای از $A$ است ولی $\lbrace 1,2,3\rbrace$ و $a$اعضایی از مجموعه $A$ هستد.