اگر مجموعهٔ مرجع را نامتناهی فرض کنیم، آنگاه آیا متمم یک زیرمجموعهٔ نامتناهیِ دلخواهش، الزاما مجموعه ای متناهی می شود؟

Question

فرض کنید مجموعهٔ مرجع که با $U$ نمایش می‌دهیم، مجموعه‌ای نامتناهی باشد و یک زیرمجموعهٔ نامتناهی‌اش مانند $A$ را بردارید. آیا می‌توان گفت متممِ $A$ که با $A'$ نمایش می‌دهیم، حتما مجموعه‌ای متناهی می‌شود؟ یا اینکه حتما مجموعه‌ای نامتناهی می‌شود؟

Answer 1

مجموعهٔ $ A^{'}$ هم می‌تواند متناهی باشد هم غیرمتناهی . مثال: بفرض $U=\{1,2,3,\dots\}$ همان اعداد طبیعی باشد. حالا مجموعهٔ زیر را در نظر بگیرید.

‌$$A = \{2,4,6,8,...\}$$

متمم آن برابر است با:

$$A'=\{1,3,5,7,\dots\}$$

پس هم $A$ و هم متممش نامتناهی هستند. حالا $U$ رو همون مجموعه اعداد طبیعی در نظر بگیرید و

‌ $$A=\{5,6,7,\dots\}$$

آنگاه

$$A'= \{1,2,3,4\}$$

پس متمم $A$ متناهی است.

Comments

Amirrezaei@ لطفا تایپ ریاضی را در سایت ملاحظه و تمرین کنید به عنوان نمونه من برای شما مجموعه مرجع را انجام داده ام