Question

مجموعه‌ای بیابید که متناهی باشد اما زیر مجموعهٔ آن نامتناهی باشد.

برای مثال مجموعهٔ $B$ که شامل تعدادی عضو است و متناهی است (یعنی عضوهاش قابل شمارش است) باید زیر مجموعهٔ آن که $D$ است تعداد عضوهایش قابل شمارش نباشد و نامتناهی باشد.

Comments

سلام خدمت شما
 با توجه به قضیه "زیر مجموعه هر مجموعه متناهی، مجموعه‌ای متناهی است." می‌توان نتیجه گرفت که یک مجموعه متناهی، زیر مجموعه‌ای نامتناهی ندارد.
برای اثبات آن قضیه که بالا خدمتتان عرض کردم می‌توانید به کتاب نظریه مجموعه های لین و لین مراجعه کنید.

Answer 1

فرض می کنیم مجموعه C زیر مجموعه A می باشد: $$$$

$$C \subseteq A$$ $$ \forall x\ \ x \in C \Rightarrow x \in A$$ $$$$ پس نتیجه می گیریم به ازای هر x در مجموعه C؛ x در مجموعه A نیز وجود دارد.

بنا بر این:تعداد اعضای مجموعه C قطعا کمتر یا مساوی با تعداد اعضای مجموعه A هستند. $$$$ $$n(C) \leq n(A)$$ $$$$

در نهایت به این نتیجه می رسیم که هیچ مجموعه ای وجود ندارد که خودش متناهی و زیر مجموعه اش نامتناهی باشد؛زیرا تعداد اعضای زیر مجموعه از تعداد اعضای مجموعه اصلی بیشتر است. $$$$ $$n(C)>n(A) \rightarrow C \not\subset A $$

Answer 2

فرض می کنیم S مجموعه مورد نظر باشد و زیرمجموعه آن ,L ,خواص گفته شده را داشته باشد: آنگاه بنابر تعریف داریم : $\forall x\in L \Rightarrow x\in S$ پس یعنی S باید نامتناهی باشد زیرا بنابر تعریف تعداد اعضای L کوچکتر یا مساوی تعداد اعضای S خوهد بود که با فرضیات متناقظ است بنابراین وجود ندارد چنین مجموعه ای.