بفرض $A\cap B=A\cap C$ و $B-A=C-A$. ثابت کنید که $B=C$.

Question

بفرض $A$، $B$ و $C$ سه مجموعه باشند. اگر داشته باشیم $A\cap B=A\cap C$ و $B-A=C-A$، آنگاه ثابت کنید که $B=C$ است.

Comments

دو رابطه را اجتماع بزنید و فاکتور بگیرید.

---

ممنون
چطوری؟

---

لطفا عنوان سوال رو ویرایش کنید.

---

یه عضو دلخواه توی B درنظر بگیرید. اگه این عضو توی A باشه اونوقت بنا به رابطه‌ی اولی تو C قرار می‌گیره. اگه این عضو تو A نباشه بنا به رابطه ی دوم تو C قرار میگره پس B زیرمجموعه C به روش مشابه C زیرمجموعه B پس B=C.

Answer 1

$(A \cap B) \cup (B-A)=(A \cap B) \cup (B \cap A' )= B \cap (A \cup A')=B$

از طرف دیگر داریم:

$(A \cap C) \cup (C-A)=(A \cap C) \cup (C \cap A' )= C \cap (A \cup A')=C$

با توجه به برابری های داده شده داریم:

$(A \cap B) \cup (B-A) = (A \cap C) \cup (C-A)$