لطفا رابطهٔ back cap را اثبات کنید. برای هر سه بردارِ $A$ و $B$ و $C$ داریم $A\times B\times C=(A\cdot C)B-(A\cdot B)C$.

Question

اثبات رابطهٔ back cap که به صورت زیر است را می‌خواستم.

$$A\times B\times C=(A\cdot C)B-(A\cdot B)C$$

منظور از $\times$ ضرب خارجی بردارها و منظور از $\cdot$ ضرب اسکالر آنهاست.

Comments

@smanochehri نمی‌توان دو بردار را در یکدیگر ضرب اسکالری کرد، احتمالا منظورتان ضرب داخلی بوده‌است. اولین بار است که نام back cap را می‌شنوم، آیا در کتاب یا منبع خاصی هم از این نام استفاده شده‌است؟

Answer 1

کافیست قرار دهیم:$A= a_{1}\overrightarrow{i}+a_{2} \overrightarrow{j} +a_{3} \overrightarrow{k} $ و $B= b_{1} \overrightarrow{i}+b_{2} \overrightarrow{j} +b_{3} \overrightarrow{k} $و$C= c_{1} \overrightarrow{i}+c_{2}\overrightarrow{j} +c_{3} \overrightarrow{k} $

وطرفین را حساب کنیم. اولا:$A.C=a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2} +a_{3} c_{3}$ و :$A.B=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2} +a_{3} b_{3}$

پس داریم: $$B(A.C)=(a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2} +a_{3} c_{3}) b_{1} \overrightarrow{i}+(a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2} +a_{3} c_{3})b_{2} \overrightarrow{j} +(a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2} +a_{3} c_{3})b_{3} \overrightarrow{k} $$ و همچنین: $$C(A.B)=(a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2} +a_{3} b_{3}) c_{1}\overrightarrow{i}+(a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2} +a_{3} b_{3})c_{2} \overrightarrow{j} +$$ $$(a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2} +a_{3} b_{3})c_{3} \overrightarrow{k} $$ لذا داریم: $$B(A.C)-C(A.B)=(a_{1} c_{1}b_{1}+a_{2} c_{2} b_{1}+a_{3} c_{3}b_{1}-a_{1} b_{1}c_{1}-a_{2} b_{2} c_{1}-a_{3} b_{3}c_{1})\overrightarrow{i}+$$ $$(a_{1} c_{1}b_{2}+a_{2} c_{2} b_{2}+a_{3} c_{3}b_{2}-a_{1} b_{1}c_{2}-a_{2} b_{2} c_{2}-a_{3} b_{3}c_{2})\overrightarrow{j} +$$ $$(a_{1} c_{1}b_{3}+a_{2} c_{2} b_{3}+a_{3} c_{3}b_{3}-a_{1} b_{1}c_{3}-a_{2} b_{2} c_{3}-a_{3} b_{3}c_{3}) \overrightarrow{k} $$

پس داریم:

$$B(A.C)-C(A.B)=(a_{2} b_{1}c_{2}+a_{3} b_{1}c_{3}-a_{2} b_{2} c_{1}-a_{3} b_{3}c_{1})\overrightarrow{i}+$$ $$(a_{1} b_{2}c_{1}+a_{3} b_{2}c_{3}-a_{1} b_{1}c_{2}-a_{3} b_{3}c_{2})\overrightarrow{j} +$$ $$(a_{1} b_{3}c_{1}+a_{2} b_{3}c_{2}-a_{1} b_{1}c_{3}-a_{2} b_{2} c_{3}) \overrightarrow{k} $$

از طرف دیگر داریم: $$B \times C= \begin{vmatrix}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k} \\b_{1} & b_{2}& b_{3} \\c_{1} & c_{2}& c_{3}\end{vmatrix} =$$ $$(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2})\overrightarrow{i}-(b_{1}c_{3}-b_{3}c_{1})\overrightarrow{j} +(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}) \overrightarrow{k} $$ وهمچنین: $$A\times (B \times C)= \begin{vmatrix}\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k} \\a_{1} & a_{2}& a_{3} \\b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}& b_{3}c_{1}-b_{1}c_{3}& b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}\end{vmatrix} =$$ $$(a_{2}(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})-a_{3}(b_{3}c_{1}-b_{1}c_{3}))\overrightarrow{i} -(a_{1}(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})-a_{3}(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}))\overrightarrow{j} +$$ $$(a_{1}(b_{3}c_{1}-b_{1}c_{3})-a_{2}(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}))) \overrightarrow{k} $$ یعنی داریم:

$$A\times (B \times C)=(a_{2}b_{1}c_{2}-a_{2}b_{2}c_{1}+a_{3}b_{1}c_{3}-a_{3}b_{3}c_{1}))\overrightarrow{i}$$ $$ +(-a_{1}b_{1}c_{2}+a_{1}b_{2}c_{1}+a_{3}b_{2}c_{3}-a_{3}b_{3}c_{2})\overrightarrow{j} +$$ $$(-a_{1}b_{1}c_{3}+a_{1}b_{3}c_{1}-a_{2}b_{2}c_{3}+a_{2}b_{3}c_{2}) \overrightarrow{k} $$ با مقایسه طرفین برابری نتیجه می شود