این یک قضیه است و نه یک تعریف .
به صورت زیر :
$$ \forall x, y \in \mathbb{R}^+ \cup \{0\}: \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy} $$
برای اثبات ابتدا یاد آوری میکنیم :
اگر $\Large{x^\color{teal}{n}},y^\color{teal}{n}$ عبارت توانی استاندارد باشند .
آنگاه خواهیم داشت :
$$\large{\bbox[5px ,border:1px solid teal]{{(x\cdot{y})}^{\color{teal}{n}}=({x}^{\color{teal}{n}})\cdot ({y}^{\color{teal}{n}})}}\tag{Law}$$
در نتیجه :
$$ \forall x, y \in \mathbb{R} \cup \{0\}: \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} =x^{1/2} \cdot y^{1/2} =(xy)^{1/2}= \sqrt{xy} $$
حال سوال آیا ادعا زیر درست است ؟
$$ \forall x, y \in \mathbb{R}: \sqrt{xy}=\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} $$
برای پاسخ به سوال یاد آوری میکنیم :
اگر $\Large{x^\color{teal}{n}},y^\color{teal}{n}$ عبارت توانی استاندارد باشند .
آنگاه خواهیم داشت :
$$\large{\bbox[5px ,border:1px solid teal]{{(x\cdot{y})}^{\color{teal}{n}}=({x}^{\color{teal}{n}})\cdot ({y}^{\color{teal}{n}})}}\tag{Law}$$
در نتیجه اگر $\Large{x^\color{teal}{1/2}},y^\color{teal}{1/2}$ عبارت توانی استاندارد باشد خواهیم داشت :
$$ \sqrt{xy}=\sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$$
پس ادعا همواره درست نیست .
