آیا $a$ و $b$ در رابطهٔ $\sqrt[2]{a}\times\sqrt[2]{b}=\sqrt[2]{ab}$ می توانند هر عدد حقیقی ای باشند یا این رابطه برای اعداد حقیقی مثبت است؟

Question

سلام خدمت دوستان، به نظر شما این تعریف، تعریف درستی می‌باشد؟

اگر $a$ و $b$ عضو اعداد حقیقی باشند آنگاه $\sqrt[2]{a}. \sqrt[2]{b}= \sqrt[2]{a.b}$.

به نظر خود من که تعریف اشتباهه چون با توجه به تعاریف توان که ارائه شده همخوانی نداره و فقط برای اعداد حقیقی مثبت درسته، نظر شما دوستان چطور؟

Comments

مشکل درباره تدریس نیست . مشکل تعاریف کتابه . در ادامه ی همین تعریف بالا نکته ای ذکر میکنه که این رابطه عکسش درست نیست . که کلا آدم به دانسته های خودش هم شک میکنه که نکنه مطلب و نکته ای رو در نظر نمیگیرم و این تعریف درسته.

---

این تعریف رو کجا نوشتن؟ مرجع ارائه دهنده رو ذکر کنید. چون همونطور که گفتین برای اعداد مثبت اون تعریف درسته.

Answer 1

این یک قضیه است و نه یک تعریف .

به صورت زیر :

$$\forall x, y \in \mathbb{R}^+ \cup \{0\}: \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$$

برای اثبات ابتدا یاد آوری میکنیم :

اگر $\Large{x^\color{teal}{n}},y^\color{teal}{n}$ عبارت توانی استاندارد باشند .

آنگاه خواهیم داشت :

$$\large{\bbox[5px ,border:1px solid teal]{{(x\cdot{y})}^{\color{teal}{n}}=({x}^{\color{teal}{n}})\cdot ({y}^{\color{teal}{n}})}}\tag{Law}$$

در نتیجه :

$$\forall x, y \in \mathbb{R} \cup \{0\}: \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} =x^{1/2} \cdot y^{1/2} =(xy)^{1/2}= \sqrt{xy}$$

---

حال سوال آیا ادعا زیر درست است ؟

$$\forall x, y \in \mathbb{R}: \sqrt{xy}=\sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$$

برای پاسخ به سوال یاد آوری میکنیم :

اگر $\Large{x^\color{teal}{n}},y^\color{teal}{n}$ عبارت توانی استاندارد باشند .

آنگاه خواهیم داشت :

$$\large{\bbox[5px ,border:1px solid teal]{{(x\cdot{y})}^{\color{teal}{n}}=({x}^{\color{teal}{n}})\cdot ({y}^{\color{teal}{n}})}}\tag{Law}$$

در نتیجه اگر $\Large{x^\color{teal}{1/2}},y^\color{teal}{1/2}$ عبارت توانی استاندارد باشد خواهیم داشت :

$$\sqrt{xy}=\sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$$

پس ادعا همواره درست نیست .

Comments

عذرخواهی میکنم منظورتان از توان استاندارد چیه؟

---

@malihe
رجوع کنید به لینک زیر :
http://math.irancircle.com/blog/119/تعاریف-و-قضایای-توان-و-رادیکال-ریاضی

---

بله کاملا درسته وبا توجه به تعاریفی که ارائه دادید فقط برای اعدا نامنفی رابطه صدق میکنه .
بنابراین قضیه ای که در کتاب نوشتن  اشتباه ویرایشی داشته.

---

@mohsenn
منظورتون کدوم کناب هست؟