اگر $A$ و $B$ زیرمجموعه های اعداد حقیقی مثبت باشند، ثابت کنید $\sup(A.B)=\sup(A).\sup(B)$ و $\sup(\frac{1}{A})=\frac{1}{\inf(A)}$.

Question

فرض کنید $A$ و $B$ زیرمجموعه‌های ناتهی و کراندار از اعداد حقیقی مثبت هستند، تعریف کنید:

$$A.B=\{x.y\mid x \in A,y \in B\}\\ \frac{1}{A}=\{ \frac{1}{x}\mid x \in A\}$$

نشان دهید:

$$\sup(A.B)=\sup(A).\sup(B)$$

و اگر $inf A \neq 0$ آنگاه:

$$\sup( \frac{1}{A})= \frac{1}{\inf A}$$

Comments

Hamidpms@  آخرین رابطه عنوان  یعنی  «$\sup(\frac{1}{A})=\frac{1}{\sup(A)}$» اشتباه می باشه. لطفا درستش کنید

---

درست نوشته شده استاد‌. در مخرج باید inf باشه

---

در عنوان سوال INF وجود ندارد همه sup می باشه اما در صورت مسئله درست نوشته شد.

---

بله درست میفرمایید عنوان سوال باید ویرایش شود

---

عنوان سوال اصلاح شد .

Answer 1

فرض کنید $sup(A)= \alpha $ و $sup(B)= \beta $ . توجه کنیم چون طبق فرض مجموعه های $A$ و $B$ کراندار هستند پس $sup(A)$ و $sup(B)$ وجود دارند و عدد حقیقی هستند . طبق فرض $A$ و $B$ زیرمجموعه های مجموعه اعداد حقیقی مثبت هستند پس $ \alpha $ و $ \beta $ اعداد حقیقی مثبت می باشند . فرض کنید $c \in A.B$ پس $a \in A$ و $b \in B$ وجود دارند که $c=ab$ . از آنجا که $a \leq \alpha $ و $b \leq \beta $ و $a,b, \alpha , \beta $ اعداد مثبت هستند پس $c=ab \leq \alpha \beta $ . حال فرض کنید $ \gamma $ عدد حقیقی است که $ \gamma < \alpha \beta $ . بنابراین $ \frac{ \gamma }{ \alpha } < \beta $ . چون $sup(B)= \beta $ پس $b \in B$ وجود دارد که $ \frac{ \gamma }{ \alpha } < b$ . بنابراین $ \frac{ \gamma }{b} < \alpha $ . چون $sup(A)= \alpha $ پس $a \in A$ وجود دارد که $ \frac{ \gamma }{b} < a$ . در نتیجه $ \gamma < ab$ . قرار دهید $c=ab$ پس $c \in A.B$ و $ \gamma < c$ . در نتیجه $sup(A.B)= \alpha \beta=sup(A).sup(B) $ .

فرض کنید $inf(A)= \delta $ . گیریم $y \in \frac{1}{A} $ پس $x \in A$ وجود دارد که $y= \frac{1}{x} $ . از آنجا که $A$ زیرمجموعه اعداد حقیقی مثبت است و $ \delta \neq 0$ پس $ \delta $ عددی مثبت است .$ \delta \leq x$ بنابراین $y= \frac{1}{x} \leq \frac{1}{ \delta } $ . حال فرض کنید $ \varepsilon $ عددی است که $ \varepsilon < \frac{1}{ \delta } $ . پس $ \delta < \frac{1}{ \varepsilon } $ . چون $inf(A)= \delta $ بنابراین $x \in A$ وجود دارد که $x < \frac{1}{ \varepsilon } $ . پس $ \varepsilon < \frac{1}{x} $ . قرار دهید $y= \frac{1}{x} $ در نتیجه $y \in \frac{1}{A} $ و $ \ \varepsilon < y $ . پس $sup( \frac{1}{A} )= \frac{1}{ \delta } = \frac{1}{inf(A)} $ .