اگر $A$ مجموعه ای در فضایی متریک باشد داریم $ \partial ( \partial ( \partial (A)))= \partial ( \partial (A))$

Question

فرض کنیم $A$ زیرمجموعه ای دلخواه از فضای متریک $(X,d)$باشد.ثابت کنید همواره $ \partial ( \partial ( \partial (A)))= \partial ( \partial (A))$. طبق قضیه ای میدانیم $ \partial ( \partial (A)) \subseteq \partial (A)$ . در سوال مطرح شده اگر $ \partial (A)$را برابر با $B$ بگیریم واضح است که $ \partial ( \partial (B)) \subseteq \partial(B)$ یعنی $ \partial ( \partial ( \partial (A))) \subseteq \partial ( \partial (A))$. ادامه اثبات ...؟

Comments

یک طرف واضح است که زیرمجموعه طرف دیگر است. درسته؟

---

بله درسته یک طرفش واضح است

---

کدام طرف واضح است و چرا؟ لطفا سوالتون رو ویرایش کنید و این مورد رو اضافه کنید. در مورد طرف دیگر می تونم کمک کنم.

Answer 1

برای طرف دیگر فرض کنید $x\notin\partial\partial\partial A$ در اینصورت یا $x\notin \partial\partial A$ و یا $x\notin\overline{(\partial\partial A)^c}$.

اگر $x\notin \partial\partial A$ حکم ثابت است.

فرض کنید $x\in \partial \partial A$ در اینصورت $x\notin\overline{(\partial\partial A)^c}$.

پس $r>0$ ی وجود دارد که $B(x,r)\cap (\partial\partial A)^c=\emptyset$ که نتیجه می دهد

$B(x,r)\subset \partial\partial A\subset \partial A\tag{1}\label{1}$

از طرفی چون $x\in\partial\partial A=\partial A\cap \overline{(\partial A)^c}$ پس $x\in \overline{(\partial A)^c}$ پس برای $r>0$ پیدا شده داریم

$B(x,r)\cap(\partial A)^c\neq \emptyset\tag{2}\label{2}$

رابطه های $\eqref{1}$ و $\eqref{2}$ با هم در تناقض اند.

Comments

@fardina مگه مرز یک مجموعه اشتراک بستارش با بستار متممش نبود ؟

---

بله. توجه کنید که مرز هر مجموعه ای خود مجحوعه ای بسته است لذا با بستارش برابر است.

---

مچکرم مشکلم کامل حل شد @fardina

Answer 2

ابتدا ثابت می کنیم که اگر $A$ در $ X $ باز یا بسته باشد آن گاه $( \partial (A))^\circ= \emptyset $.

فرض کنیم $A$ در $X$ بسته باشد آن گاه $\overline{A}=A $. از طرفی $ \partial (A)= \overline{A} \bigcap \overline{A^c} $ پس $ \partial (A)= A \bigcap \overline{A^c} \subseteq A$. فرض کنیم $x\in (\partial(A))^\circ $ آن گاه وجود دارد $B(x,r)$ به طوری که $B(x,r)\subseteq \partial(A)\subseteq A$ پس $B(x,r) \bigcap A^c=\emptyset$. بنابراین $x\notin \overline{A^c} $ و در نتیجه $x\notin \partial(A)$. پس $( \partial (A))^\circ= \emptyset $. اگر $A$ باز باشد استدلال مشابه است.

حالا چون $\partial(\partial(A))$ مجموعه ای بسته است پس

$$\partial(\partial(\partial(A)))=\partial(\partial(A))-(\partial(\partial(A)))^\circ$$

طبق اون چیزی که در بالا گفتیم

$$(\partial(\partial(A)))^\circ=\emptyset$$

بنابراین $$\partial(\partial(\partial(A)))=\partial(\partial(A))$$