ابتدا بجای $ y $ و $ z $ هم $ x $ قرار می دهیم تا $3f(x,x)=0 $ بدست آید یعنی با ازای هر $ x $ داریم $f(x,x)=0 $ است.
حال بجای $ z $ در رابطه ی اولیه $ x $ قرار می دهیم لذا داریم:
$$f(x,y)+f(y,x)+f(x,x)=0 \\ \Rightarrow f(x,y)+f(y,x)=0 \Rightarrow f(x,y)=-f(y,x)$$
یعنی اگر جای مولفه ها رو عوض کنیم یک منفی ظاهر می شود حال فرض $ a $ عددی ثابت باشد تعریف میکنیم:
$$ g(x)=f(x,a) $$
لذا اگر بجای $ z $ در رابطه ی اولیه$ a $ قرار دهیم داریم:
$$f(x,y)+f(y,a)+f(a,x)=0 \\ \Rightarrow f(x,y)=-f(a,x)-f(y,a)=f(x,a)-f(y,a)
$$
با توجه به تعریف $ g(x)=f(x,a)$ داریم:
$$ f(x,y)=g(x)-g(y) $$
