حاصل انتگرال $ \int_ {-\infty}^{ \infty } e^{-\frac{x^2}{2}}\ x^n\ dx $ را زمانی که $n\in\mathbb{N}$ بیابید.

Question

مقدار انتگرال زیر را بیابید :($n\in\mathbb{N}$)

$$ \int_ {-\infty}^{ \infty } e^{-\frac{x^2}{2}}\ x^n\ dx $$

Answer 1

برای $n$ های فرد تابع فرد است و لذا $\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac {x^2}2}x^ndx=0$

برای $n$ های زوج تابع زوم بوده و لذا $\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac {x^2}2}x^ndx=2\int_0^\infty e^{-\frac {x^2}2}x^ndx$

پس کافی است $I= \int_0^\infty e^{-ax^2}x^ndx $ را بیابیم. با قرار دادن $u=x^2$ خواهیم داشت $ I=\frac 12\int_0^\infty e^{-au}u^{\frac{n-1}2}du $

اگر قرار دهیم $v=au$ خواهیم داشت $I=\frac 1{2a}\int_0^\infty e^{-v}\frac{v^{\frac{n-1}2}}{a^{\frac{n-1}2}}dv$

اما تعریف تابع گاما به این صورت بود: $$\Gamma(x)=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}dx$$

لذا $I=\frac 1{2a^{\frac {n+1}2}}\Gamma(\frac{n+1}2)$

پس جواب انتگرال شما در حالت $n$ زوج برابر است با $ \frac 1{a^{\frac {n+1}2}}\Gamma(\frac{n+1}2) $ مخصوصا اگر $a=\frac 12$ خواهیم داشت $2^{\frac{n+1}2}\Gamma(\frac{n+1}2)$

Answer 2

اگر $n$ فرد باشد تابع $e^{-\frac{x^2}{2}}x^n$ تابع فرد است : $$ \int_{- \infty }^ \infty e^{-\frac{x^2}{2}}x^n\ dx=0$$ حال فرض کنیم $n$ عددی زوج است . فرض کنید : $$S(n)=\int_{- \infty }^ \infty e^{-\frac{x^2}{2}}x^n\ dx$$ قرار دهیم $u=e^{-\frac{x^2}{2}}\ ,\ v=x^n$ با استفاده از انتگرال جز به جز داریم : $$\begin{align}S(n)&=uv|_{- \infty }^{ \infty }- \int_{- \infty }^ \infty v\ du \\ &=e^{-\frac{x^2}{2}}\frac{x^{n+1}}{n+1}|_{- \infty }^{ \infty } - \int_{- \infty }^{ \infty } -xe^{-\frac{x^2}{2}}\frac{x^{n+1}}{n+1} dx\\ &=\frac{1}{n+1} \int_{- \infty }^{ \infty }e^{-\frac{x^2}{2}}x^{n+2} dx\\ &=\frac{1}{n+1}S(n+2) \end{align} $$

پس رابطه بازگشتی زیر را داریم : $$S(n+2)=(n+1)S(n)$$ چون $n$ عددی زوج است پس $n=2m$ . با استفاده از رابطه بازگشتی بالا داریم : $$\begin{align}S(2m)&=(2m-1)S(2m-2)\\ &=(2m-1)(2m-3)S(2m-4)\\ &=...\\ &=(2m-1)(2m-3)...(3)(1)S(0) \end{align} $$

از طرفی می دانیم : $$S(0)= \int_{- \infty }^{ \infty } e^{-\frac{x^2}{2}}\ dx =\sqrt{2 \pi }$$ پس : $$S(n)=S(2m)= (2m-1)(2m-3)...(3)(1)\sqrt{2 \pi }$$

به عنوان مثال فرض کنید $n=10$ پس $m=5$ داریم : $$\begin{align}S(10)&=\int_{- \infty }^ \infty e^{-\frac{x^2}{2}}x^{10}\ dx\\ &=(2 \times 5-1)(2 \times 5-3)(2 \times 5-5)(2 \times 5-7)(2 \times 5-9)\sqrt{2 \pi }\\ &=9 \times 7 \times 5 \times 3 \times 1 \times \sqrt{2 \pi }\\ &=945\sqrt{2 \pi } \end{align} $$