به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
73 بازدید
در دانشگاه توسط amirmahdipeyrovi (146 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

سلام به همه

مسئله: به فرض $a,b,c\in\mathbb{R}$ و $a < 0$ و $\Delta=b^2-4ac$. ثابت کنید که

$$\int_{-\infty}^\infty e^{ax^2+bx+c}dx=e^{\frac{-\Delta}{4a}}\sqrt{-\frac{\pi}{a}}$$

تلاش خودم: من سعی کردم این انتگرال را به انتگرال گاوسی ربط بدهم اما نتوانستم. ممنون می‌شوم اگر راهنمایی کنید.

توسط AmirHosein (17,857 امتیاز)
+1
@amirmahdipeyrovi به ویرایشی که بر روی عنوان پست‌تان انجام دادم توجه کنید و همین‌طور به جای تصویر برای فرمول‌های ریاضی از تایپ استفاده کنید. پست‌های زیر می‌توانند راهنمای خوبی برایتان باشند.
https://math.irancircle.com/52
https://math.irancircle.com/56
https://math.irancircle.com/11973

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط AmirHosein (17,857 امتیاز)
انتخاب شده توسط amirmahdipeyrovi
 
بهترین پاسخ

این پرسش‌تان با یک تغییر متغیر و استفاده از پرسش پیشین‌تان حل می‌شود (https://math.irancircle.com/25174).

توجه کنید که

$$ax^2+bx+c=a\big( x-(\frac{-b}{2a})\big)-\frac{b^2-4ac}{4a}$$

این رابطه را زمانی که با معادله‌های درجهٔ دو در دبیرستان آشنا می‌شدید باید دیده باشید. از دید هندسی هم توجه کنید که درازا (طول) مرکزِ یک سهمی $\frac{-b}{2a}$ و پهنا (عرض) آن $-\frac{b^2-4ac}{4a}$ است، پس در واقع در حال دادن یک سهمی به مرکز نقطهٔ خاص و با کنترل میزان باز بودن دهانه‌اش با ضریبِ $a$ هستیم. به هر حال، تغییر متغیر جدید زیر را در نظر بگیرید.

$$y=x+\frac{b}{2a}\rightarrow dy=dx$$

و چون $y$ و $x$ تنها یک عدد ثابت از هم فاصله دارند، زمانی که $x$ از منفی‌بینهایت تا مثبت‌بینهایت تغییر می‌کند، $y$ هم تمام $\mathbb{R}$ را پوشش می‌دهد. پس انتگرال اصلی به شکل زیر بازنویسی می‌شود.

$$ \int_{-\infty}^\infty e^{ax^2+bx+c}dx = \int_{-\infty}^\infty e^{ay^2-\frac{\Delta}{4a}}dy $$

دوباره همان نکته‌ای که برای پرسش پیشین‌تان اشاره شد، جمع در توان به ضرب بیرون توان تبدیل می‌شود و چون عدد ثابت (مستقل از $x$) داریم، به پشت انتگرال می‌بریم و مابقی ماجرا تلاش برای درآوردن شکلی هست که بتوان از فرمول اثبات‌شده در پرسش دیگرتان کمک گرفت. بعلاوه توجه کنید که چون $a$ منفی است، از $-a$ که مثبت است باید استفاده کنید.

\begin{align} \int_{-\infty}^\infty e^{ax^2+bx+c}dx &= \int_{-\infty}^\infty e^{ay^2-\frac{\Delta}{4a}}dy\\ &= e^{-\frac{\Delta}{4a}}\int_{-\infty}^\infty e^{ay^2}dy\\ &= e^{-\frac{\Delta}{4a}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{y^2}{2(\sqrt{\frac{-1}{2a}})^2}}dy\\ &= e^{-\frac{\Delta}{4a}}\sqrt{2\pi}|\sqrt{\frac{-1}{2a}}|\\ &= e^{-\frac{\Delta}{4a}}\sqrt{\frac{-\pi}{a}} \end{align}

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...