این پرسشتان با یک تغییر متغیر و استفاده از پرسش پیشینتان حل میشود (https://math.irancircle.com/25174).
توجه کنید که
$$ax^2+bx+c=a\big( x-(\frac{-b}{2a})\big)-\frac{b^2-4ac}{4a}$$
این رابطه را زمانی که با معادلههای درجهٔ دو در دبیرستان آشنا میشدید باید دیده باشید. از دید هندسی هم توجه کنید که درازا (طول) مرکزِ یک سهمی $\frac{-b}{2a}$ و پهنا (عرض) آن $-\frac{b^2-4ac}{4a}$ است، پس در واقع در حال دادن یک سهمی به مرکز نقطهٔ خاص و با کنترل میزان باز بودن دهانهاش با ضریبِ $a$ هستیم. به هر حال، تغییر متغیر جدید زیر را در نظر بگیرید.
$$y=x+\frac{b}{2a}\rightarrow dy=dx$$
و چون $y$ و $x$ تنها یک عدد ثابت از هم فاصله دارند، زمانی که $x$ از منفیبینهایت تا مثبتبینهایت تغییر میکند، $y$ هم تمام $\mathbb{R}$ را پوشش میدهد. پس انتگرال اصلی به شکل زیر بازنویسی میشود.
$$
\int_{-\infty}^\infty e^{ax^2+bx+c}dx = \int_{-\infty}^\infty e^{ay^2-\frac{\Delta}{4a}}dy
$$
دوباره همان نکتهای که برای پرسش پیشینتان اشاره شد، جمع در توان به ضرب بیرون توان تبدیل میشود و چون عدد ثابت (مستقل از $x$) داریم، به پشت انتگرال میبریم و مابقی ماجرا تلاش برای درآوردن شکلی هست که بتوان از فرمول اثباتشده در پرسش دیگرتان کمک گرفت. بعلاوه توجه کنید که چون $a$ منفی است، از $-a$ که مثبت است باید استفاده کنید.
\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty e^{ax^2+bx+c}dx &= \int_{-\infty}^\infty e^{ay^2-\frac{\Delta}{4a}}dy\\
&= e^{-\frac{\Delta}{4a}}\int_{-\infty}^\infty e^{ay^2}dy\\
&= e^{-\frac{\Delta}{4a}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{y^2}{2(\sqrt{\frac{-1}{2a}})^2}}dy\\
&= e^{-\frac{\Delta}{4a}}\sqrt{2\pi}|\sqrt{\frac{-1}{2a}}|\\
&= e^{-\frac{\Delta}{4a}}\sqrt{\frac{-\pi}{a}}
\end{align}
