اگر فرضِ یک گزارهٔ شرطی دارای تعدادی متغیر باشد، آنگاه این گزاره درست یا نادرست یا هر دو است؟ یا چگونه باید آن را دید؟

Question

عرض سلام داشتم خدمت اساتید گرامی

اگر $a$ و $b$ دو عدد زوج باشند، آنگاه حاصل جمع آن دو نیز یک عدد زوج است.

ارزش عبارت بالا درست هست، اما سؤالی که پیش میاد اینه که عبارت بالا از دو تا گزاره تشکیل شده و هر گزاره یک ارزشی دارد (درست یا نادرست) و نمی‌شه که یک گزاره هم درست و هم نادرست باشه، حالا ارزش گزارۀ «اگر $a$ و $b$ دو عدد زوج باشند» را چگونه باید متوجه بشویم؟ به ما مقدار عددی $a$ و $b$ رو نداده که بخواهیم بگوئیم درست است یا نادرست. ممنون می‌شوم نظرتون رو بفرمائید.

Answer 1

در زندگی روزمره و خود زبان فارسی بیایید فکر کنید. شما در حال تحصیل در یک کلاس هستید، آموزگار می‌گوید شما این کلاس را موفق می‌گذرانید (پاس می‌کنید) اگر نمرهٔ امتحان پایان ترم را کمتر از ۱۲ نگیرید. اینجا یک گزارهٔ شرطیِ «الف آنگاه ب» دارید که الف و ب هم دو گزاره هستند. به نظر شما باید الف مساوی با «درست»-ِ مطلق یا «نادرست»-ِ مطلق باشد؟ مثلا شما مرد هستید. گزارهٔ «آقای محسن مرد است» خب یک گزاره با ارزش منطقیِ ثابت است، مثلا مانند تابع ثابت، $f(x)=1$. ولی «نمرهٔ پایان‌ترم بالاتر از ۱۲ باشد» در جملهٔ آموزگار فقط منحصر به شما نیست! دانش‌آموزهای دیگر هم در کلاس هستند. پس برای هر فرد می‌تواند بحث شود. ممکن است وقتی شما را در این گزاره می‌گذاریم درست باشد چون نمره‌تان بالای ۱۲ شد ولی همکلاسیِ بقل‌دست‌تان را در این گزاره بگذاریم ارزشش نادرست شود چون نمرهٔ امتحانش ۱۰ شده‌است. این تناقضی ایجاد نمی‌کند. چون گزارهٔ الف که نگفته بود «نمرهٔ همهٔ افراد در این کلاس بالای ۱۲ شده‌است». بعلاوه ارزش این گزاره زمانی معلوم و ثابت می‌شود که شما دانش‌آموز را ثابت بگیرید و این دانش‌آموز در امتحان شرکت کرده‌باشد و امتحان و نتیجه‌اش مشخص شده‌باشد، نه؟ پس «اگر الف، آنگاه ب»، باید توجه کنید که الف چه هست.

در گزارهٔ شرطیِ ریاضی هم مانند همان گزارهٔ شرطی در گفتگو باید عمل کنید، فرقی ندارند. «اگر $a$ و $b$ زوج باشند، آنگاه فلان»، خیلی راحت $a$ و $b$ صرفا نمایندهٔ دو عدد هستند و عدد خاص و ثابتی در نظر گرفته‌نشده‌اند، پس چرا فکر می‌کنید باید «درست» یا «نادرست» باشد؟ وقتی آموزگار می‌گوید «اگر نمرهٔ امتحان بالای ۱۲ باشد، آنگاه درس را نمی‌افتید»، آيا می‌گویید چون آموزگار فرد خاصی را در جمله مشخص نکرده‌است این جمله مشکل دارد؟ خیر. حتی اگر هم فرد خاصی را فقط منظورش می‌بود، برای نمونه شما، هنوز شما در حال تحصیل در این کلاس هستید و امتحانی ندادید، آیا این مشکل یا تناقض دارد؟ خیر. شاید برایتان قابلِ درک‌تر باشد اگر به برخی گزاره‌ها به شکل تابع نگاه کنید. به جای اینکه فکر کنید «الف» یک گزارهٔ منطقی با ارزش ثابت است، به چشم یک تابع با هم‌دامنهٔ بولی نگاه کنید، یعنی گزارهٔ «$a$ و $b$ زوج باشند» را می‌توانید به این شکل ببینید:

$$\begin{array}{llll} f & \colon & \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} & \longrightarrow\lbrace\text{درست},\text{نادرست}\rbrace\\ & & (a,b) & \longmapsto(\text{زوج باشد}\,a)\wedge(\text{زوج باشد}\,b) \end{array}$$

Comments

بله ممنونم از وقتی که گذاشتید، اینطور که من متوجه شدم بنابراین برای عبارت اگر دو عددaو b زوج باشد، نمی توانیم ارزش گذاری درست یا غلط کنیم و همچنین برای عبارت حاصل جمع دو عدد aو b زوج هست هم نمی‌توان ارزش گذاری کرد، بنابراین برای ارزش گذاری کل جمله" اگر aو b دو عدد زوج باشد آنگاه حاصل جمع آن دو عدد زوج است" نمی توان از جدول ارزش گذاری استفاده کرد و باید با استفاده از استدلال استنتاجی ثابت کنیم که جمله بالا دارای ارزش درست است.
ممنون میشم بفرمایید برداشتم درست هست یا نه.

---

@Mohsenn نه جمله‌تان درست نیست. درستش این است که گزارهٔ «$a+b$ زوج است» بدون هیچ فرض بیشتری دارای یک ارزش معین نیست چون اطلاعاتی در مورد $a$ و $b$ نداریم. ولی در حالتیکه فرض‌های کافی برای تصمیم‌گیری موجود باشد می‌تواند ارزش ثابتی داشته‌باشد. برای نمونه حالت‌های زیر را در نظر بگیرید.
۱- «$a=1$ و $b=3$». در این حالت «$a+b$ زوج است» درست است.
۲- «$a$ عددی فرد و $b=0$». در این حالت «$a+b$ زوج است» نادرست است.
۳- «$a$ و $b$ زوج هستند». در این حالت «$a+b$ زوج است» درست است.
زمانی که می‌گویید «اگر $a$ و $b$ زوج باشند، آنگاه $a+b$ زوج است» شما یک $p$ آنگاه $q$ دارید. کل این گزارهٔ شرطی ارزشِ ثابت «درست» دارد. قسمت اول و قسمت دوم بدون هیچ فرض بیشتری و بدون یکدیگر ارزش ثابتی ندارند بلکه تابع‌مانند هستند. اگر فرضی داشته باشید که اولی را ارزشِ «درست» بدهد، آنگاه خودبه‌خود قسمت دوم ارزشِ ثابت «درست» خواهد گرفت. حالا شما می‌گویید جدول ارزش‌گذاری نمی‌تواند استفاده شود، چرا و این دقیقا یعنی چه؟ جدول ارزش‌گذاری اسم یک روش نیست. به نظرم برای اینکه برایتان ابهام «جدول ارزش‌گذاری» رفع شود یک پرسش جدید بنویسید و بپرسید «جدول ارزش‌گذاری مربوط به گزارهٔ شرطیِ اگر $a$ و $b$ زوج باشند آنگاه $a+b$ زوج است چه می‌شود؟» تا برایتان جدول(های) مربوطه را بنویسم.