به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
462 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط ali.alisoleiman (11 امتیاز)
ویرایش شده توسط Math.Al

چرا اگر در یک گزارهٔ شرطی فرض صحیح نباشد، کل گزارهٔ شرطی صحیح است؟ اگر تناقض را فرض بگیریم (که در برهان خلف چنین کاری می‌کنیم) آیا می‌توان هر نتیجه‌ای گرفت؟

توسط amir7788 (2,738 امتیاز)
ویرایش شده توسط amir7788
+4
فرض غلط با این که فرض می کنیم حکم بر قرار نباشد فرق می کنه. فرض غلط یعنی گزاره (نما) نادرست مانند مربع عدد، منفی است یا 2بزرگتر از 3 است یا.... از این گزاره‌های نادرست هر حکمی می توان نتیجه گرفت.
اما در برهان خلف حکم بر قرار نباشد  به این معنی نیست که گزار نما نادرست است بلکه حکم برای نقیضش درست است یعنی با یه عبارت درست(نقیض حکم) سرکار داریم.

2 پاسخ

+3 امتیاز
توسط کیوان عباس زاده (3,090 امتیاز)
ویرایش شده توسط Math.Al

درست بودن یک گزارۀ شرطی، لزوماً به معنای درست بودن حکم آن نیست. گزارۀ شرطی $q$ $ \rightarrow $ $p$ به این معنا است که اگر $p$ اتفاق بیفتد (یعنی درست باشد)، آنگاه $q$ نیز حتماً باید اتفاق بیفتد (یعنی درست باشد). پس اگر $p$ اتفاق بیفتد ولی $q$ اتفاق نیفتد، کل گزارۀ شرطی $q$$ \rightarrow $$p$ نادرست است. حال فرض کنید که $p$ اتفاق نیفتاده باشد، یعنی دروغ (نادرست) باشد، پس $q$ چه درست باشد چه دروغ، فرقی نمی‌کند و گزارۀ شرطی $q$ $ \rightarrow$ $p$ درست است.

با یک مثال می‌توانیم درک بهتری پیدا کنیم:

فرض کنید که من یک برنامه برای فردا می‌چینم و می‌گویم که اگر فردا هوا آفتابی باشد، من به پارک خواهم رفت.

این یک گزارۀ شرطی است. فرض آن، آفتابی بودن هوا ($p$) و حکم آن، به پارک رفتن ($q$) است. اگر فردا هوا آفتابی باشد (راست بودن $p$) و من به پارک بروم (راست بودن $q$)، پس راست گفته بودم؛ چون به حرفم عمل کردم و این یعنی راست بودن گزارۀ شرطی من ($q$ $ \rightarrow $ $p$). ولی اگر هوا آفتابی باشد (راست بودن $p$) و من به پارک نروم (دروغ بودن $q$) یعنی دروغ گفته‌ام و گزارۀ شرطی من ($q$ $ \rightarrow $ $p$) دروغ است؛ چون به وعده‌ای که دادم عمل نکردم. اما اگر فردا هوا آفتابی نباشد (نادرست بودن فرض)، گزارۀ شرطی من، به انتفاء مقدم درست است؛ زیرا من چه به پارک بروم و چه به پارک نروم، فرقی نمی‌کند و من دروغی نگفته‌ام. در واقع شرط آفتابی بودن هوا برای رفتن به پارک، یک شرط لازم است و نه شرط کافی. یعنی نباید حتماً هوا آفتابی باشد تا من به پارک بروم. ولی اگر هوا آفتابی باشد، حتماً باید به پارک بروم تا حرف من درست باشد و اگر آفتابی نباشد، به اختیار خودم است که بروم یا نروم.

توسط Math.Al (1,535 امتیاز)
@کیوان+عباس+زاده توجه کنید که برخلاف تصور رایج، گزارۀ $p \to q$، به‌صورت متعارف لزوماً یک رابطه علیتی بین $p$ و $q$ را مشخص نمی‌کند. $p$ و $q$ می‌توانند گزاره‌هایی باشند که به هم هیچ ارتباطی ندارند و هیچ رابطۀ علیتی‌ای بین آن‌ها برقرار نیست، ولی مثلاً اگر هر دو درست باشند، طبق حالت اول جدول ارزش، $p \to q$ درست است. به عنوان مثال، گزارۀ زیر را در نظر بگیرید:

اگر $1 + 1 = 2$، آنگاه پاریس پایتخت فرانسه است.

با اینکه مقدم و تالی عملاً به هم هیچ ارتباطی ندارند، اما طبق حالت اول جدول، این گزاره درست است؛ زیرا در منطق، شرطی «اگر...، آنگاه...» لزوماً پیوند علّی را بیان نمی‌کند. در منطق "علت" وجود ندارد، در واقع منطق مربوط به طبیعت نیست (که البته این موضوع منجر به پارادوکس‌هایی هم شده‌است).
0 امتیاز
توسط Math.Al (1,535 امتیاز)
ویرایش شده توسط Math.Al

به نام خدا

بلی. در واقع طبق اصل انفجار (Principle of explosion)، هر گزاره‌ای از یک تناقض قابل اثبات است. مثلاً اگر فرض کنیم $P\land\neg P$ (که همانطور که می‌دانید همواره نادرست و در واقع یک تناقض است)، آنگاه می‌توان هر گزارۀ دلخواهی مثل $Q$ را ثابت کرد. به‌شکل زیر:

  1. فرض کنید $P\land\neg P$ درست است؛ یعنی $P$ و $\neg P$ هر دو درست هستند.
  2. پس گزارۀ $P\lor Q$ درست است.
  3. با این حال، از آنجایی که فرض کردیم $\neg P$ درست است؛ در نتیجه $P$ نادرست است.
  4. از آنجایی که $P\lor Q$ درست است، پس حداقل یکی از $P$ یا $Q$ درست هستند و از آنجایی $P$ نادرست است، پس $Q$ درست است و در نتیجه $Q$ را ثابت کردیم.

در واقع این اصل را به‌صورت نمادین به‌شکل زیر می‌نویسیم:

$$ P, \lnot P \vdash Q $$

که البته در گزارۀ شرطی به آن «درستی به انتفای مقدم» می‌گویند. یعنی اگر مقدم یا همان فرض یک گزارۀ شرطی نادرست باشد، کل گزارۀ شرطی درست می‌شود. چرا؟ چون در این حالت هیچ دلیلی برای نقض شدن و نادرستی گزاره وجود ندارد و در واقع گزاره در این حالت هیچ‌وقت نادرست نمی‌شود؛ پس باید درست باشد. برای مثال، اگر کسی بگوید: «اگر خورشید از مغرب طلوع کرد، آنگاه فیل‌ها پرواز می‌کنند(!)»، راست گفته یا دروغ؟ فرد در این گزاره دربارۀ حالتی صحبت می‌کند که خورشید از مغرب طلوع کند؛ پس اگر خورشید از مغرب طلوع کرد و فیل‌ها پرواز نکردند، گزاره نادرست می‌شود و می‌فهمیم فرد دروغ گفته‌است. اما چون این ناممکن است و خورشید هیچ‌وقت از مغرب طلوع نمی‌کند، پس در حال حاضر هیچ دلیلی برای نادرستی و دروغ گفتن فرد وجود ندارد و در واقع گزاره نادرست نمی‌شود. پس گزاره درست است.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...