به نام خدا
رابط $\rightarrow$ یا $\Rightarrow$، با قرار گرفتن بین دو گزارۀ $p$ و $q$، گزارۀ مرکب $p\rightarrow q$ را میسازد که معمولاً به آن گزارۀ شرطی یا استلزام مادی میگویند و جدول ارزشش بهصورت زیر تعریف شدهاست:
$$
\begin{array}{c|c|c}
p & q & p\to q \\ \hline
\text{T} & \text{T} & \text{T} \\ \hline
\text{T} & \text{F} & \text{F} \\ \hline
\text{F} & \text{T} & \text{T} \\ \hline
\text{F} & \text{F} & \text{T}
\end{array}
$$
شاید برایتان سؤال شود که انگیزۀ این تعریف چیست و چرا گزارۀ شرطی را اینگونه تعریف کردهاند. اگر گزارۀ $p\rightarrow q$ را به معنای «اگر $p$ درست باشد، آنگاه $q$ نیز درست است» یا «درستی $p$، مستلزم درستی $q$ است» در نظر بگیریم، بهنظرتان چه زمانی است گزاره درست و چه زمانی نادرست است؟ این گزاره در واقع ادعا میکند که هرگاه $p$ درست باشد، آنگاه $q$ نیز درست است، پس اگر $p$ و $q$ هر دو درست باشند، مطابقِ ادعای این گزاره است و در نتیجه گزاره دارای ارزش درست میشود ولی اگر حالتی وجود داشته باشد که $p$ درست باشد ولی $q$ نادرست باشد، با ادعای گزاره تناقض ایجاد میشود پس گزاره در این حالت نادرست است. در زبان محاورهای گزارۀ شرطی به همین معنا است و لذا در نظر گرفتن حالتی که $p$ نادرست است، ضروری نیست.
با این حال، منطقدانان در هر یک از چهار حالت از احتمالات منطقی، ارزش گزارۀ $p\rightarrow q$ را تعریف کردهاند و در حالتی که $p$ نادرست باشد، گزاره دارای ارزش درست میباشد و به آن «درستی به انتفای مقدم» میگویند.
$$
\begin{array}{c|c|c}
p & q & p\to q \\ \hline
\text{T} & \text{T} & \text{T} \\ \hline
\text{T} & \text{F} & \text{F} \\ \hline
\text{F} & \text{T} & \color{red}{\text{T}} \\ \hline
\text{F} & \text{F} & \color{red}{\text{T}}
\end{array}
$$
شاید برایتان سؤال شود که چرا در صورت نادرستیِ $p$، گزاره را درست تعریف کردهاند و علت درستی به انتفای مقدم چیست. برای پاسخ به این پرسش، ابتدا مفهوم انتفای مقدم را در مجموعۀ تهی و سور عمومی بیان میکنیم و سپس به همان طریق، تعریفی با سور عمومی برای $p\rightarrow q$ انجام میدهیم و انتفای مقدم را در گزارۀ شرطی بهطور دقیق توضیح میدهیم.
گزارۀ زیر را در نظر بگیرید:
$$
\require{amssymb}
\forall x\in\varnothing; P(x)
$$
میدانیم که در یک گزارۀ سور عمومی، اگر مجموعهجواب گزارهنما با دامنۀ متغیر برابر باشد ($S = D$)، آنگاه گزاره دارای ارزش درست و در غیر اینصورت دارای ارزش نادرست است. در گزارۀ بالا، چون $\require{amssymb}x\in\varnothing$، پس واضح است که دامنۀ متغیر مجموعۀ تهی $\require{amssymb}\varnothing$ و مجموعهجواب $\require{amssymb}\{x\in\varnothing\mid P(x)\}$ میباشد و این دو مجموعه با هم برابرند.
$$\require{amssymb}\{x\in\varnothing\mid P(x)\} = \varnothing\Longrightarrow S = D$$
بنابراین، گزارۀ $
\require{amssymb}
\forall x\in\varnothing; P(x)
$ دارای ارزش درست است. نتیجهای که میشود گرفت این است که هر گزارهای که در مورد یک مجموعۀ تهی بیان شود، درست است و به این نیز درستی به انتفای مقدم میگویند.
میتوانیم در حالت کلی گزارۀ $p\rightarrow q$ را با سور عمومی به شکل زیر نمایش دهیم:
$$\forall p\equiv\text{T}; (q\equiv\text{T})$$
که یعنی «هرگاه $p$ دارای ارزش درست باشد، $q$ دارای ارزش درست است». فرض کنید که چنین است و هرگاه که $p$ درست باشد، $q$ نیز درست است. بنابراین در این حالت، گزارۀ $\forall p\equiv\text{T}; (q\equiv\text{T})$ در حالتی که $p$ درست باشد، دارای ارزش درست میباشد. اکنون نقیض این گزاره را در نظر بگیرید:
$$\color{black}{\neg\big(\forall p\equiv\text{T}; (q\equiv\text{T})\big)}\equiv\color{black}{\big(\exists p\equiv\text{T}; \neg(q\equiv\text{T})\big)}\equiv\color{black}{\big(\exists p\equiv\text{T}; (q\equiv\text{F})\big)}$$
نقیض این گزاره، بیان میکند که حالتی وجود دارد که $p$ درست و $q$ نادرست است. ما فرض کرده بودیم که هرگاه که $p$ درست باشد، $q$ نیز درست است. نقیض گزاره در تناقض با فرض ماست. پس نقیض گزاره نمیتواند درست باشد؛ در نتیجه خودِ گزارۀ اصلی یعنی $\forall p\equiv\text{T}; (q\equiv\text{T})$ همواره درست است؛ پس اگر $p$ نادرست باشد نیز درست است. در واقع نتیجهای که میتوانیم بگیریم، این است که گزارۀ $p\rightarrow q$ در حقیقت مدعی این است که حالتی وجود ندارد که $p$ درست و $q$ نادرست باشد و ادعای دیگری ندارد. در نتیجه بهجز حالتِ درست بودنِ $p$ و نادرست بودنِ $q$، در بقیۀ حالتها گزاره درست است.
