یک دنبالهٔ حقیقیمقدار یک تابع از مجموعهٔ $\mathbb{N}$ به مجموعهٔ $\mathbb{R}$ است. از مبانی ریاضی زمانی که توان عددهای اصلی را میآموختید به یاد آورید که مجموعهٔ تابعهای از مجموعهٔ $X$ به مجموعهٔ $Y$ را با نماد $Y^X$ نمایش میدادیم. اکنون یک مجموعهٔ جدید تعریف کنید به نام $A$ که زیرمجموعهای از $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ است که شامل فقط اعضایی میشود که یکنوا باشند، به این معنا که اگر دنبابهٔ $a\in\mathbb{R}^\mathbb{N}$ را برداشتهاید باید یکی از دو شرط زیر برایش روی بدهد.
- $$\forall n\in\mathbb{N}\;\colon\;a(n)\leq a(n+1)$$
- $$\forall n\in\mathbb{N}\;\colon\;a(n)\geq a(n+1)$$
اکنون گزارهٔ شرطیِ شما این را میگوید:
$$\forall a\in A\;\colon\; \Big((\text{ همگرا است }a)\Longleftrightarrow(\text{ کراندار است }a)\Big)$$
اگر دوست دارید مجموعهای بگوئید، بیایید دو زیرمجموعهٔ دیگر از $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ تعریف کنیم. مجموعهٔ $B$ را اعضایی از $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ بردارید که کراندار هستند. یعنی
$$\exists M\in \mathbb{R_{>0}}\text{ s.t. }\forall n\in\mathbb{N}\;\colon\;|a(n)|\leq M$$
و مجموعهٔ $C$ را هم اعضایی از $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ بردارید که همگرا هستند. یعنی
$$\exists\ell\in\mathbb{R}\text{ s.t. }\forall\varepsilon\in\mathbb{R}_{>0}\;\exists N\in\mathbb{N}\text{ s.t. }\forall n\geq N\;\colon\;|a(n)-\ell|<\varepsilon$$
اکنون، گرازهٔ شرطی شما همارز با رابطهٔ زیر است.
$$A\cap C=A\cap B$$
در آخر حواستان باشد که «عکس قضیه» نه! برای گزارهٔ شرطیِ یکطرفه میگویند «عکسِ آن». یعنی زمانی که میگوئید $p\Rightarrow q$، آنگاه عکس آن میشود $q\Rightarrow p$. زمانی که یک نتیجهگیری دو طرفه است جابجا کردن دو سمت تفاوتی ایجاد نمیکند. برای نمونه رابطهٔ برابری را به یاد آورید، به نظرتان کسی میآید بپرسد که عکسِ $a=b$ چه میشود؟ در کل برای هر رابطهای که بازتابی (انعکاسی) باشد، جابجا کردن دو سمت رابطه چیزی تغییر نمیدهد و دوباره خودش را دارید.
چون قضیه یک نتیجهگیری دوطرفه است پس «عکسِ قضیه» خودش میشود. چیزی که شما احتمالا میپرسید این است که عکسِ سمتِ رفتِ قضیه چه میشود. یعنی عکس «اگر یک دنبالهٔ یکنوا، همگرا باشد آنگاه کراندار نیز است» چه میشود. که پاسخش این است: «اگر یک دنبالهٔ یکنوا، کراندار باشد آنگاه همگرا نیز است». گذاشتن نشانهای نگارشی در جای درست میتواند کمکتان کنید. پیش از اینکه متن پرسش را برایتان ویرایش کنم، بین یکنوا و همگرا ویرگول نگذاشته بودید و به جایش پیش از اگر و پس از تنها اگر نقطه گذاشته بودید که جدا از ریاضی، از نظر فارسی هم متن را به سه جملهٔ بیمعنا و ناقص تبدیل کردهبودند.
