ثابت کنید که سری $\sum_{n=1}^\infty(a_n-a_{n+1})$ همگراست اگر و تنها اگر دنبالهٔ $\lbrace a_n\rbrace$ همگرا باشد.

Question

جمله $n$اُم یک دنباله را با $a_n$ نمایش داده و جمله عمومی دنباله می‌گوئیم. ثابت کنید که سریِ $\sum_{n=1}^\infty(a_n-a_{n+1})$ همگراست اگر و تنها اگر دنبالهٔ $\lbrace a_n\rbrace$ همگرا باشد.

Comments

@fhmw این پرسش را پیش‌تر در تاریخ ۱۳ اردیبهشت پرسیده بودید (https://math.irancircle.com/22498)، پاسخ نگرفتن پرسش‌تان دلیل بر دوباره ارسال مجدد پست جدید با سوال تکراری نمی‌شود. به جای ارسال پست تکراری، تلاش خودتان را به انتهای متن پست بیفزائید یا جزئیات دیگر که رعایت‌نکردنشان باعث ناجالب بودن پست‌تان می‌شود. هر چقدر برای پرسش‌تان بیشتر ارزش قائل شوید، پاسخ‌‌دهنده‌ها نیز به پاسخ‌دادن پرسش‌تان راغب‌تر خواهند بود.

Answer 1

• فرض کنیم دنباله $ a_n $ به l همگرا باشد. در این صورت واضح است که دنباله $b_n=a_n-a_{n+1}$ به صفر همگراست $$ s_k= \sum_ {n=1}^{k}b_n=a_1-a_{k+1} \quad (1) $$ بنابراین سری به $ a_1-l $ همگراست.
• حال فرض می کنیم َ سری همگرا به b باشد آنگاه از رابطه (1) نتیجه می شود که دنباله $ a_n $نیز همگر(به $a_1-b$ )است.

Answer 2

سمت اول : میدانید که اگر دنباله $ a_{n} $ همگرا باشد دنباله ی $ a_{n+1} $ نیز همگراست از طرفی $\sum (a_{n}- a_{n+1}) $ =$-a_{n+1}$ پس این سری هم همگراست

سمت دوم : فرض کنید سری $\sum (a_{n}- a_{n+1}) $ همگرا باشد پس بنابر عکس نقیض قضیه n امین جمله برای واگرایی( کتاب حساب دیفرانسیل جرج توماس قضیه 7 ص 579) باید $a_{n}- a_{n+1}$ باید به صفر میل کند یعنی $\lim_{n\to \infty } (a_{n}- a_{n+1})= 0 $ و این ما را به این نتیجه می رساند که دنباله ی {$a_{n}$} همگراست