نشان دهید$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(logn)^{-p}}{n}$ همگراست

Question

نشان دهید که $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(logn)^{-p}}{n}$ همگرا است اگر و فقط اگر $.p >1$

Answer 1

آزمون تراکم کوشی: فرض کنید $\sum(a_n)$ یک سری از اعداد مثبت نزولی باشد. در اینصورت: $\sum(a_n)$ همگراست اگر و تنها اگر سری $\sum_1^\infty 2^na_{2^n}$ همگرا باشد.(برای اثبات به کتاب رودین رجوع کنید)

در اینصورت چون سری $\sum \frac1{n(\ln n)^p}$ از اعداد مثبت نزولی است لذا همگراست اگر و تنها اگر $\sum \frac 1{n^p(\ln 2)^p}$ همگرا باشد. (زیرا با فرض $a_n=\frac1{n(\ln n)^p}$ داریم $2^n a_{2^n}=\frac1{n^p(\ln 2)^p}$ )

اما سری $\sum \frac 1{n^p(\ln 2)^p}$ یک $-p$ سری است که می دانیم برای $p>1$ همگراست.