همگرایی$\int_0^{1} \frac{\sin\frac{1}{x}dx}{\sqrt{x} }$و$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(3-4!)^{n}}{4^{n}}$

Question

همگرایی و یا واگرایی هریک را بررسی کنید.

الف) $$ \int_0^{1} \frac{\sin \frac{1}{x} dx}{ \sqrt{x} }$$

ب) $$ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ (3-4!)^{n} }{ 4^{n} } $$

Answer 1

با توچه به آزمون نسبت به وضوح (ب) واگرا است.

Answer 2

الف ) چون داریم $$ \mid \frac{sin \frac{1}{x}}{\sqrt{x} } \mid \leq \frac{1}{ \sqrt{x} } $$ و $$ \int_0^1 \frac{1}{ \sqrt{x} }= 2 $$ بنابراین انتگرال ناسره ی $ \int_0^1 \frac{sin \frac{1}{x}}{\sqrt{x} } $ نیز موجود است.

ب ) چون جمله ی عمومی این سری یعنی $ \frac{ \big(3 - 4!\big) ^{n} }{ 4^{n} } = (\frac{-21}{4}) ^{n} $ همگرا به صفر نیست پس شرط لازم همگرایی را نداریم.