همگرایی$\int_0^{1} \frac{\sin\frac{1}{x}dx}{\sqrt{x} }$و$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(3-4!)^{n}}{4^{n}}$

Question

همگرایی و یا واگرایی هریک را بررسی کنید.

الف)

$$\int_0^{1} \frac{\sin \frac{1}{x} dx}{ \sqrt{x} }$$

ب)

$$\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ (3-4!)^{n} }{ 4^{n} }$$

Answer 1

با توچه به آزمون نسبت به وضوح (ب) واگرا است.

Answer 2

الف ) چون داریم

$$\mid \frac{sin \frac{1}{x}}{\sqrt{x} } \mid \leq \frac{1}{ \sqrt{x} }$$ و $$\int_0^1 \frac{1}{ \sqrt{x} }= 2$$ بنابراین انتگرال ناسره ی $\int_0^1 \frac{sin \frac{1}{x}}{\sqrt{x} }$ نیز موجود است.

ب ) چون جمله ی عمومی این سری یعنی $\frac{ \big(3 - 4!\big) ^{n} }{ 4^{n} } = (\frac{-21}{4}) ^{n}$ همگرا به صفر نیست پس شرط لازم همگرایی را نداریم.