احتمالا اشتباهِ نوشتاری داشته‌اید و منظورتان به جای $x$، همان $n$ بوده‌است. اگر واقعا دو متغیر متفاوت دارید، آنگاه چون $x$ نسبت به $n$ ثابت است، پس $\sin x$ نیز یک مقدارِ ثابت در کلِ مرحله‌های جمع است. پس داریم:
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin x}{n}=(\sin x)\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$$
اگر $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ همگرا می‌بود، آنگاه هم همگرایی سری‌تان ثابت شده‌بود و هم می‌دانستید که مقدارش برابر با ضربِ مقدارِ سری $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ است در $\sin x$ است. اما چون $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ واگراست، پس سری‌تان نیز واگراست، ضرب یک عدد ثابتِ ناصفر در یک سری، همگرایی و واگرایی را تغییر نمی‌دهد.
و اما اگر اشتباه نوشتاری داشته‌اید و تنها یک متغیرِ $n$ داشتید: آزمون دیریخله را به یاد آورید.
اگر دو دنبالهٔ $\lbrace a_n\rbrace$ و $\lbrace b_n\rbrace$ در سه شرطِ زیر صدق کنند، آنگاه سریِ $\sum a_nb_n$ همگرا خواهد بود.
- دنبالهٔ $\lbrace a_n\rbrace$ کاهشیِ اکید (اکیداً نزولی) باشد.
- $\lim_{n\to\infty}a_n=0$.
- دنبالهٔ جدیدی که با جمع‌های پاره‌ای (جزئی) -ِ $\sum_{n=1}^Nb_n$ تعریف می‌شود از هر دو سمت کراندار باشد.
جملهٔ $\frac{\sin n}{n}$ را می‌توان به شکلِ $\frac{1}{n}\times\sin n$ نوشت. روشن است که دنبالهٔ $\lbrace\frac{1}{n}\rbrace_{n=1}^\infty$ شرط‌های مربوط به $\lbrace a_n\rbrace$ در آزمون دیریخله یعنی شرط‌های ۱ و ۲ را دارد. برای $\lbrace\sin n\rbrace_{n=1}^\infty$ توجه کنید که دنبالهٔ جمع‌های جزئی به شکل $\lbrace\sum_{n=1}^N\sin n\rbrace_{N=1}^\infty$ است. احتمالا با جمله‌های این دنبالهٔ جدید در بخش مثلثات ریاضی ۲ یا در بخش استقرا جبر و احتمال یا در بخش سری‌های تلسکوپی حساب‌دیفرانسیل و انتگرال برخورد داشته‌اید. در غیر اینصورت به محاسبهٔ زیر نگاه کنید.
عدد $N$ را یک عدد طبیعیِ ثابت بردارید.
\begin{align}
\sin 1+\sin 2+\dots+\sin N &= \frac{\sin\frac{1}{2}(\sin 1+\sin 2+\dots+\sin N)}{\sin\frac{1}{2}}\\
&= \frac{\sin\frac{1}{2}\sin 1+\sin\frac{1}{2}\sin 2+\dots+\sin\frac{1}{2}\sin N}{\sin\frac{1}{2}}\\
&= \frac{\frac{\cos\frac{1}{2}-\cos\frac{3}{2}}{2}+\frac{\cos\frac{3}{2}-\cos\frac{5}{2}}{2}+\dots+\frac{\cos\frac{2N-1}{2}-\cos\frac{2N+1}{2}}{2}}{\sin\frac{1}{2}}\\
&= \frac{\cos\frac{1}{2}-\cos\frac{3}{2}+\cos\frac{3}{2}-\cos\frac{5}{2}+\dots+\cos\frac{2N-1}{2}-\cos\frac{2N+1}{2}}{2\sin\frac{1}{2}}\\
&= \frac{\cos\frac{1}{2}-\cos\frac{2N+1}{2}}{2\sin\frac{1}{2}}
\end{align}
توجه کنید که عددهای $\sin\frac{1}{2}$ و $\cos\frac{1}{2}$ دو عدد ثابت هستند. تنها چیزی که تغییر می‌کند $\cos N$ است ولی این مقدار کراندار است $-1\leq\cos N\leq 1$. پس باید برایتان روشن باشد که $\lbrace\sum_{n=1}^N\sin n\rbrace_{N=1}^\infty$ از هر دو سمت کراندار است و در نتیجه دنبالهٔ $\lbrace\sin n\rbrace_{n=1}^\infty$ نیز در شرط‌های آزمون دیریخله یعنی شرط ۳ صدق می‌کند. در نتیجه فرض‌های آزمون دیریخله برقرار است و نتیجه می‌دهد که $\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin n}{n}$ همگرا است.
پرسش مقدار همگرایی را نخواسته‌است ولی اگر کنجکاو هستید، نرم‌افزارِ Maple پاسخ زیر را می‌دهد.
ورودی‌ای که برای محاسبهٔ این سری باید در Maple بنویسید.
sum( sin(n)/n, n = 1 .. infinity );
خروجیِ محاسبهٔ Maple.
-1/2 + Pi/2
یعنی $\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}$.
