همگرایی سری $ \sum_{n=1}^ \infty \frac{cos\ n}{n} (1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}})$

Question

آیا سری زیر همگراست ؟ چرا؟ $$ \sum_{n=1}^ \infty \frac{cos\ n}{n} (1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}})$$

Comments

سلام. من برچسب "مسابقات-ریاضی" تولید کردم برای سوالاتی اینچنینی.
ممنون.

Answer 1

به نظرم با آزمون دیریکله بشه همگراییشو اثبات کرد.

اگر $a_n$ دنباله ای مثبت و نزولی همگرا به صفر باشد و دنباله مجموع های جزیی $b_n$ کراندار باشد در اینصورت سری $\sum a_nb_n$ همگراست.

برای دیدن اثبات کلیک کنید.

حال چون $\frac{1}{\sqrt n}\to 0$ و نزولی است پس دنباله چزاروی معادل آن یعنی $\frac{1+\frac 1{\sqrt 2}+\cdots +\frac 1{\sqrt n}}{n}\to 0$ و نزولی است. از طرفی دنباله مجموع های جزیی $\cos n$ کراندار است(چرا؟) بنابراین دنباله شما همگراست.

در مورد دنباله چزارو بخوانید.

Comments

آفرین . کاملا درسته .

Answer 2

اثبات کراندار بودن دنباله مجموع های جزئی دنباله $a_{n}=cos\ n$ :

مجموع جزئی $n$ ام دنباله $a_{n}$ به صورت زیر است : $$S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$$ پس : $$S_{n}=cos{1}+cos{2}+...+cos\ {n}$$ طرفین را در $sin\ \frac{1}{2}$ ضرب می کنیم داریم : $$(sin\ \frac{1}{2})S(n)=(sin\ \frac{1}{2})cos{1}+(sin\ \frac{1}{2})cos{2}+...+(sin\ \frac{1}{2})cos\ {n}$$ $$ \Rightarrow (sin\ \frac{1}{2})S(n)= \sum_{k=1}^n (sin\ \frac{1}{2})cos{k} \ \ \ \ \ \ \star $$ حال از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم : $$sin\ a\ . cos\ b=\frac{1}{2}(sin(a-b)+sin(a+b))$$ پس برای هر $k=1,2,...,n$ داریم : $$(sin\ \frac{1}{2})cos{k}=\frac{1}{2}(sin(\frac{1}{2}-k)+sin(\frac{1}{2}+k))$$ $$(sin\ \frac{1}{2})cos{k}=\frac{1}{2}(sin(\frac{2k+1}{2})-sin(\frac{2k-1}{2}))$$ با جاگذاری در $\star$ داریم : $$(sin\ \frac{1}{2})S(n)=\sum_{k=1}^n\ \frac{1}{2}(sin(\frac{2k+1}{2})-sin(\frac{2k-1}{2})) $$ $$(sin\ \frac{1}{2})S(n)=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n\ (sin(\frac{2k+1}{2})-sin(\frac{2k-1}{2})) $$ حال با استفاده از قاعده تلسکوپی ( ادغام) داریم : $$(sin\ \frac{1}{2})S(n)=\frac{1}{2}(sin(\frac{2n+1}{2})-sin\ \frac{1}{2})$$ پس : $$S(n)=\frac{sin(\frac{2n+1}{2})-sin\ \frac{1}{2}}{2sin\ \frac{1}{2}}$$ اکنون به راحتی مشاهده می شود که دنباله $ S(n) $ کراندار است . زیرا : $$|S(n)| \leq \frac{|sin(\frac{2n+1}{2})|+|sin\ \frac{1}{2}|}{2|sin\ \frac{1}{2}|} \leq \frac{1+1}{2|sin\ \frac{1}{2}|} = \frac{1}{|sin\ \frac{1}{2}|} $$

$$ \Rightarrow |S(n)| \leq\frac{1}{|sin\ \frac{1}{2}|}$$