اثبات کراندار بودن دنباله مجموع های جزئی دنباله $a_{n}=cos\ n$ :
مجموع جزئی $n$ ام دنباله $a_{n}$ به صورت زیر است :
$$S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$$
پس :
$$S_{n}=cos{1}+cos{2}+...+cos\ {n}$$
طرفین را در $sin\ \frac{1}{2}$ ضرب می کنیم داریم :
$$(sin\ \frac{1}{2})S(n)=(sin\ \frac{1}{2})cos{1}+(sin\ \frac{1}{2})cos{2}+...+(sin\ \frac{1}{2})cos\ {n}$$
$$ \Rightarrow (sin\ \frac{1}{2})S(n)= \sum_{k=1}^n (sin\ \frac{1}{2})cos{k} \ \ \ \ \ \ \star $$
حال از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم :
$$sin\ a\ . cos\ b=\frac{1}{2}(sin(a-b)+sin(a+b))$$
پس برای هر $k=1,2,...,n$ داریم :
$$(sin\ \frac{1}{2})cos{k}=\frac{1}{2}(sin(\frac{1}{2}-k)+sin(\frac{1}{2}+k))$$
$$(sin\ \frac{1}{2})cos{k}=\frac{1}{2}(sin(\frac{2k+1}{2})-sin(\frac{2k-1}{2}))$$
با جاگذاری در $\star$ داریم :
$$(sin\ \frac{1}{2})S(n)=\sum_{k=1}^n\ \frac{1}{2}(sin(\frac{2k+1}{2})-sin(\frac{2k-1}{2})) $$
$$(sin\ \frac{1}{2})S(n)=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n\ (sin(\frac{2k+1}{2})-sin(\frac{2k-1}{2})) $$
حال با استفاده از قاعده تلسکوپی ( ادغام) داریم :
$$(sin\ \frac{1}{2})S(n)=\frac{1}{2}(sin(\frac{2n+1}{2})-sin\ \frac{1}{2})$$
پس :
$$S(n)=\frac{sin(\frac{2n+1}{2})-sin\ \frac{1}{2}}{2sin\ \frac{1}{2}}$$
اکنون به راحتی مشاهده می شود که دنباله $ S(n) $ کراندار است . زیرا :
$$|S(n)| \leq \frac{|sin(\frac{2n+1}{2})|+|sin\ \frac{1}{2}|}{2|sin\ \frac{1}{2}|} \leq \frac{1+1}{2|sin\ \frac{1}{2}|} = \frac{1}{|sin\ \frac{1}{2}|} $$
$$ \Rightarrow |S(n)| \leq\frac{1}{|sin\ \frac{1}{2}|}$$
